题组层级快练(九十三)1．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A．(a＋3)2<2a2＋6a＋11B．a2＋≥a＋C．|a－b|＋≥2D.－<－答案C解析(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0，故A恒成立；在B项中不等式的两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a⇐(a4－a3)＋(1－a)≥0⇐a3(a－1)－(a－1)≥0⇐(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B项中的不等式恒成立；对C项中的不等式，当a>b时，恒成立，当a2a＋2b－2B．a2＋b2<2a＋2b－2C．a2＋b2≤2a＋2b－2D．a2＋b2≥2a＋2b－2答案D解析∵a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，∴a2＋b2≥2a＋2b－2.3．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．答案2解析(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝m＝时等号成立)．4．(2015·沧州七校联考)若logxy＝－2，则x＋y的最小值为________．答案解析由logxy＝－2，得y＝.而x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝3＝，当且仅当＝即x＝时取等号．所以x＋y的最小值为.5．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．答案解析方法一：(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3.当且仅当a＝b＝c时取等号成立．方法二：柯西不等式：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.6．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．答案12解析由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为12.7．(2015·江苏南通)已知x>0，y>0，a∈R，b∈R.求证：()2≤.证明因为x>0，y>0，所以x＋y>0.所以要证()2≤，即证(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)，即证xy(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立．故()2≤.8．(2014·江苏)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.证明因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0,1＋x2＋y≥3>0.故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.9．(2014·福建)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.答案(1)3(2)略思路①利用绝对值三角不等式，即可求出参数a的值，注意等号成立的条件；②把①中求得的a的值代入函数p＋q＋r＝a中，再利用柯西不等式，即可证明结论．解析(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9.即p2＋q2＋r2≥3.10．(2015·福建质量检查)若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2.(1)求abc的最大值；(2)证明：＋＋≥.答案(1)(2)略解析(1)因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．所以abc的最大值为.(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得＋＋＝(a＋b＋c)·(＋＋)＝[()2＋()2＋()2]×[()2＋()2＋()2]≥(×＋×＋×)2＝.所以＋＋≥.11．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.答案(1)1(2)略解析(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式，得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)≥(·＋·＋·)2＝9.
