题组层级快练(九十三)1．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A．(a＋3)20，所以x＋y>0
所以要证()2≤，即证(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)，即证xy(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立．故()2≤
8．(2014·江苏)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy
证明因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0,1＋x2＋y≥3>0
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy
9．(2014·福建)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a
(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3
答案(1)3(2)略思路①利用绝对值三角不等式，即可求出参数a的值，注意等号成立的条件；②把①中求得的a的值代入函数p＋q＋r＝a中，再利用柯西不等式，即可证明结论．解析(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3
(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9
即p2＋q2＋r2≥3
10．(2015·福建质量检查)若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2
(1)求abc的最大值；(2)证明：＋＋≥
答案(1)(2)略解析(1)因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．所以abc的最大值为
(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得＋＋＝(a＋b＋c)·(＋＋)＝[()2＋()2＋()2]×[()2＋()2＋()2]≥(×
