高考数学大一轮复习 9.1直线的方程教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

§9.1直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用4.线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(×)(4)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(×)(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(×)(7)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．(×)(8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)1．直线x－y＋a＝0的倾斜角为________．答案60°解析化直线方程为y＝x＋a，∴k＝tanα＝. 0°≤α<180°，∴α＝60°.2．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝______.答案－3解析 A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC.∴＝，∴x＝－3.3．若直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为____________．答案∪解析直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.若l的倾斜角为α，则tanα≤1.又 α∈[0，π)，∴α∈∪.4．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________________．答案x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0解析①若直线过原点，则k＝－，∴y＝－x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点．设＋＝1，即x＋y＝a.∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.题型一直线的倾斜角与斜率例1经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连结A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.思维点拨注意倾斜角是锐角还是钝角．答案[－1,1][0，]∪[，π)解析如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．又kPA＝＝－1，kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤；当－1≤k<0时，≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，]∪[，π)．思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．(1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________．(2)直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是____________________．答案(1)－(2)∪解析(1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有，解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.(2)由xcosα＋y＋2＝0得直线斜率k＝－cosα. －1≤cosα≤1，∴－≤k≤.设直线的倾斜角为θ，则－≤tanθ≤.结合正切函数在∪上的图象可知，0≤θ≤或≤θ<π.题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝(0<α<π)，从而cosα＝±，则k＝tanα＝±.故所求直线方程为y＝±(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，解得a＝－...