第6讲空间坐标系与空间向量1．下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是()A.OM＝3OA－2OB－OCB.OM＝OA＋OB＋OCC.OM＋OA＋OB＋OC＝0D.MA＋MB＋MC＝02．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，AM＝MC1，点N为B1B的中点，则|MN|＝()A.aB.aC.aD.a3．(2017年新课标Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.4．(2018年安徽合肥质检)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是底面ABCD上的动点，则(CE－CA1)·D1B1的最大值为()A.B．1C.D.5．(多选)已知四棱柱ABCDA1B1C1D1为正方体．则下列结论正确的是()A．(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12B.A1C·(A1B1－A1A)＝0C．向量AD1与向量A1B的夹角是120°D．正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|6．三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．7．(2015年浙江)如图X861，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．图X861图X8628．(2016年浙江)如图X862，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．9．(2017年江苏)如图X863，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值．图X86310．如图X864，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝PD＝4，CD＝2，AD＝2，M为CD的中点，N为PB上一点，且PN＝λPB(0<λ<1)．(1)若λ＝时，求证：MN∥平面PAD；(2)若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值．图X864第6讲空间坐标系与空间向量1．D2．A解析：MN＝AN－AM＝AN－AC1＝AB＋BN－＝AB＋AA1－AD.∴|MN|＝＝a.3．C解析：方法一，以B为原点，建立如图D220①所示的空间直角坐标系．①②图D220则B(0,0,0)，B1(0,0,1)，C1(1,0,1)．又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，则A(－1，，0)．∴AB1＝(1，－，1)，BC1＝(1,0,1)，则cos〈AB1，BC1〉＝＝＝＝，因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.方法二，如图D221②，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则PN∥BC1，MN∥AB1，∴AB1与BC1所成的角是∠MNP或其补角． AB＝2，BC＝CC1＝1，∴MN＝AB1＝，NP＝BC1＝.取BC的中点Q，连接PQ，MQ，则可知△PQM为直角三角形，且PQ＝1，MQ＝AC，在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×＝7，AC＝，则MQ＝，则△MQP中，MP＝＝，则△PMN中，cos∠PNM＝＝＝－，又异面直线所成角范围为，则余弦值为.4．B解析：由正方体性质知CA1·D1B1＝0，则(CE－CA1)·D1B1＝CE·D1B1.建立如图D221所示的空间直角坐标系，则B(1,1,0)，C(0,1,0)．设点E(x，y,0)，则CE＝(x，y－1,0)，D1B1＝DB＝(1,1,0)．∴CE·D1B1＝(x，y－1,0)·(1,1,0)＝x＋y－1.易知当E位于点B时，x＋y有最大值2.因此CE·D1B1的最大值为2－1＝1.图D221图D2225．ABC解析：不妨设正方体的棱长为1，以{DA，DC，DD1}为正交基底，建立如图D222所示的空间直角坐标系Dxyz，则各点坐标为A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0，1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)． A1A＋A1D1＋A1B1＝(0,0，－1)＋(－1,0,0)＋(0,1,0)＝(－1,1，－1)，∴(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝|A1A＋A1D1＋A1B1|2＝3，3A1B12＝3|A1B1|2＝3×12＝3，故A正确； A1C＝(－1,1，－1)，A1B1－A1A＝AB1＝(0,1,1)，∴A1C·(A1B1－A1A)＝0＋1－1＝0，故B正确； AD1＝(－1,0,1)，A1B＝(0,1，－1)，∴AD1·A1B＝0＋0－1＝－1，|AD1|＝，|A1B|＝，∴cos
＝＝＝－，∴向量AD1与向量A1B的夹角是120°，故C正确； AB⊥AA1，所以AB·AA1＝0，所以|AB·AA1·AD|＝|0·AD|＝0，故D错误．故选ABC.6.解析：设该三棱柱的边长为1，依题意有，AB1＝AB＋AA1，BC1＝AC＋AA1－AB，则|AB1|2＝(AB＋AA1)2＝AB2＋2AB·AA1＋AA12＝2＋2cos60°＝3.|BC1|2＝(AC＋AA1－AB)2＝AC2＋AA12＋AB2＋2AC...
