专题20双曲线一、基础过关题1.(2018高考·北京卷)已知椭圆M：，双曲线N：若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为______；双曲线N的离心率为______．【答案】；2利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．2.(2018高考·全国卷III)设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】 ，，∴；又因为，所以；在中，； 在中，，∴.3.(2018高考·天津卷)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线，即，，，，，ACDB是梯形，F是AB的中点，，，所以，双曲线的离心率为2，可得，可得：，解得．则双曲线的方程为：．故选：C．画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．4．(2016·广州联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1【答案】A5．(2016·全国乙卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，)C．(0,3)D．(0，)【答案】A【解析】 方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(OM＋OF2)·F2M＝0(其中O为坐标原点)，且|MF1|＝|MF2|，则双曲线的离心率为()A.－1B.C.D.＋1【答案】D7．(2016·庐江第二中学月考)已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于()A.B．1C.D．2【答案】B【解析】由b＝a1c1，得a－c＝a1c1，∴e1＝＝.由b＝a2c2，得c－a＝a2c2，∴e2＝＝.∴e1e2＝×＝1.8．(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意知a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F2(，0)，∴MF1＝(－－x0，－y0)，MF2＝(－x0，－y0)． MF1·MF2<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0. 点M(x0，y0)在双曲线上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，∴－0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(1,1＋)D．(2,1＋)【答案】B10．(2016·北京)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.【答案】12【解析】由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.11．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．【答案】(1)椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1；(2)二、能力提高题1．(2016·浙江)设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．【答案】(2，8)【解析】如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴2＜2m＋2＜8.2...
