高考数学一轮复习 课后限时集训35 等比数列及其前n项和 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

课后限时集训35等比数列及其前n项和建议用时：45分钟一、选择题1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24A[由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A.]2．(2019·日照一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝，且a2＋a4＝，则＝()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1D[设等比数列{an}的公比为q，则，解得∴＝＝＝2n－1.故选D.]3．(2019·湖南湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1B．－C．1或－D．－1或C[当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C.]4．等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为()A.B．－C.D．－B[当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝·9n－1，所以3＋r＝，即r＝－，故选B.]5．(2019·鄂尔多斯模拟)中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为()A．6里B．12里C．24里D．48里B[记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比为的等比数列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×＝12(里)．故选B.]二、填空题6．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值________．[由题意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以＝.]7．在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项之和为，则此数列的项数为________．5[设此等比数列为{am}，公比为q，则该数列共有n＋2项． 14≠，∴q≠1.由等比数列的前n项和公式，得＝，解得q＝－，∴an＋2＝14×n＋2－1＝，即n＋1＝，解得n＝3，∴该数列共有5项．]8．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________.30[由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．又 S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.]三、解答题9．(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．[解](1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.10．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．[解](1)由条件可得an＋1＝an.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.1．已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为()A．3n＋1B．3n－1C.D.C[ b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1，又数列{an}为等比数列，∴数列{an}的公比为q＝3，∴bn＋1－bn＝＝3，∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，∴数列{bn}的前n项和为Sn＝2n＋×3＝.故选C.]2．设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于()A．－B.C．－D.C[{bn}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中且bn＝an...