第3课时用向量方法求空间中的角课时过关·能力提升基础巩固1若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于()A
以上均错解析: l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°
则直线l与平面α所成的角为90°-60°=30°
答案:C2在二面角α-l-β中,若平面α的一个法向量为n1¿(√32,−12,−√2),平面β的一个法向量为n2¿(0,12,√2),则二面角α−l−β的大小等于()A
30°或150°D
60°或120°解析:设所求二面角的大小为θ,则|cosθ|¿|n1·n2||n1||n2|=√32,所以θ=30°或150°
答案:C3若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为()A
−√1111B
√1111C
−√11011D
√913331解析:cos¿(-2,-3,3)·(4,1,1)√4+9+9×√16+1+1=-43√11=−4√1133,故l与α所成角的余弦值为√1-(-4√1133)2=√91333
答案:D4设四边形ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于()A
60°解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),F(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),∴⃗AC=(1,1,0),⃗BF=(0,−1,1)
∴⃗AC·⃗BF=−1
设异面直线AC与BF所成的角为θ,∴cosθ=|cos¿⃗AC,⃗BF>¿=12
又 θ∈(0°,90°],∴θ=60°
答案:D5已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(
