第3课时用向量方法求空间中的角课时过关·能力提升基础巩固1若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于()A.120°B.60°C.30°D.以上均错解析: l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°.则直线l与平面α所成的角为90°-60°=30°.答案:C2在二面角α-l-β中,若平面α的一个法向量为n1¿(√32,−12,−√2),平面β的一个法向量为n2¿(0,12,√2),则二面角α−l−β的大小等于()A.120°B.150°C.30°或150°D.60°或120°解析:设所求二面角的大小为θ,则|cosθ|¿|n1·n2||n1||n2|=√32,所以θ=30°或150°.答案:C3若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为()A.−√1111B.√1111C.−√11011D.√913331解析:cos
¿(-2,-3,3)·(4,1,1)√4+9+9×√16+1+1=-43√11=−4√1133,故l与α所成角的余弦值为√1-(-4√1133)2=√91333.答案:D4设四边形ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于()A.45°B.30°C.90°D.60°解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),F(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),∴⃗AC=(1,1,0),⃗BF=(0,−1,1).∴⃗AC·⃗BF=−1.设异面直线AC与BF所成的角为θ,∴cosθ=|cos¿⃗AC,⃗BF>¿=12.又 θ∈(0°,90°],∴θ=60°.答案:D5已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.23B.√33C.√23D.13解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=2AB=2,则B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),故⃗DB=(1,1,0),⃗DC1=(0,1,2),⃗DC=(0,1,0).2设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗DB=0,n·⃗DC1=0,即{x+y=0,y+2z=0.令z=1,则y=-2,x=2,所以平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ,则sinθ=|cos¿=|n·⃗DC||n|·|⃗DC|=23.答案:A6在正四棱锥P-ABCD中,高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB所成的角为.解析:建立坐标系如图,则B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1),∴⃗DB=(2,2,0),⃗PE=(0,1,−1).∴cos¿⃗DB,⃗PE≥⃗DB·⃗PE|⃗DB||⃗PE|=2√8×√2=12.∴¿⃗DB,⃗PE≥π3.∴PE与DB所成的角为π3.答案:π37在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1-B1的大小为.解析:如图,以点C为原点建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为a,则A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),3∴⃗BA=(0,a,0),⃗BD1=(−a,a,a),⃗BB1=(0,0,a).设平面ABD1的法向量为n=(x,y,z),则n·⃗BA=(x,y,z)·(0,a,0)=ay=0,n·⃗BD1=(x,y,z)·(-a,a,a)=-ax+ay+az=0. a≠0,∴y=0,x=z.令x=z=1,则n=(1,0,1),同理,求得平面B1BD1的法向量m=(1,1,0),∴cos¿n·m|n||m|=12,∴=60°.而二面角A-BD1-B1为钝角,故为120°.答案:120°8如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成角为60°,试确定此时动点E的位置.解:以DA所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,以DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.设E(1,t,0)(0≤t≤2),则A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),⃗D1A=(1,0,−1),⃗CE=(1,t−2,0),根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0¿√2×√1+(t-2)2·cos60°,所以t=1.所以点E的位置是AB的中点.9如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD¿π2,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值.4解:以{⃗AB,⃗AD,⃗AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为AD⊥平面PAB,所以⃗AD是平面PAB的一个法向量,⃗AD=(0,2,0).因为⃗PC=(1,1,−2),⃗PD=(0,2,−2).设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),则m·⃗PC=0,m·⃗PD=0,即{x+y-2z=0,2y-2z=0.令y=1,解得z=1,x=1.所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.从而cos¿⃗AD,m>¿⃗AD·m|⃗AD||m|=√33,所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为√33.能力提升1已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()A.23B.√23C.√53D.2√335解析:以D为坐标原...
