课时作业(二十一)第21讲正弦定理和余弦定理时间/45分钟分值/100分基础热身1.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,C=60°,a=4b,c=,则b=()A.1B.2C.3D.2.[2018·安徽六校一联]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=1,B=,cosA=,则a=()A.B.C.D.3.在△ABC中,若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定4.[2018·玉溪一中月考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=,A=,则△ABC的面积为.5.[2017·广西桂林、百色等五市二联]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=5,b>c,△ABC的面积为5,则c=.能力提升6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,若S+a2=(b+c)2,则cosA等于()A.B.-C.D.-7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B等于()A.B.C.D.8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为()A.8B.6C.3D.39.△ABC的边a,b,c所对的角分别为A,B,C,其周长为8,外接圆半径为2,A=30°,则△ABC的面积为()A.4(2+)B.4(2-)C.8(2+)D.8(2-)10.[2017·广东梅州一检]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=bc,且sinC=2sinB,则角A的大小为.11.[2017·湖南常德一中月考]已知钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=.12.在△ABC中,三边a,b,c所对应的角分别为A,B,C,若a2=b2+c2,则的值是.13.(15分)[2018·河南林州一中调研]已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bcsinA+b2=(a2+c2),b=2.(1)求△ABC外接圆的半径R的大小;(2)若cosC=,AB边上的中线为CD,求线段AD的长及△ACD的面积.14.(15分)[2017·韶关三模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.(1)求角A的大小;(2)若B=,且△ABC的面积为4,求BC边上的中线AM的长.难点突破15.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc,a=,设S为△ABC的面积,则S+cosBcosC的最大值为()A.1B.+1C.D.316.(5分)[2018·广东南海中学等七校一联]在△ABC中,点D在边AB上,CD⊥BC,AC=5,CD=5,BD=2AD,则AD的长为.课时作业(二十一)1.A[解析]由题设条件及余弦定理可知13=16b2+b2-2×4b×bcos60°,所以b=1.故选A.2.A[解析]因为A为三角形内角,所以由cosA=得sinA=,由正弦定理知=,得a=,故选A.3.C[解析]在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,因为sin2A+sin2B+cos2C<1,所以sin2A+sin2B
c,所以C为锐角,则cosC=.所以由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC=42+52-2×4×5×=21,所以c=.6.D[解析]由S+a2=(b+c)2,得a2=b2+c2-2bc,由余弦定理可得sinA-1=cosA,结合sin2A+cos2A=1,可得cosA=-或cosA=-1(舍去).故选D.7.C[解析]根据正弦定理得==,即a2+c2-b2=ac,则由余弦定理得cosB==,故B=.故选C.8.A[解析]因为cosA=-,01=AB,所以A>C,C不为钝角.若B为钝角,则cosB=-,所以AC==;若A为钝角,则cosB=,所以AC==1,此时△ABC不是钝角三角形.所以AC=.12.[解析]由余弦定理得cosB=,所以==,由a2=b2+c2得a2-b2=c2,所以==.13.解:(1)由2bcsinA+b2=(a2+c2),得=×=cosB,由正弦定理,得=cosB,所以tanB=,又B是△ABC的内角,所以B=,又由2R=,得R=.(2)因为cosC=,且C为△ABC的内角,所以sinC=,由正弦定理得,c===6,故AD=3.因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=,所以△ACD的面积S=AC·AD·sinA=×2×3×=3.14.解:(1)由=,=,得=,即tanA=,因为A∈(0,π),所以A=.(2)由(1)知A=,又由B=,可知△ABC是等腰三角形,C=.设AC=BC=2a,则S△ABC=AC·BCsin∠ACB=×(2a)2sin=a2,由已知△ABC的面积为4,得a2=4,所以a=2.在△ACM中,由余弦定理得,AM2=CA2+CM2-2CA·CMcos=42+22-2×4×2×=28,所以AM=2.15.C[解析]因为a2=b2+c2+bc,所以cosA==-,所以A=.设△ABC外接圆的半径为R,则2R===2,所以R=1,所以S+cosBcosC=bcsinA+cosBcosC=bc+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos(B-C),当B-C=0,即B=C=时,上式取到最大值.故S+cosBcosC的最大值为.故选C.16.5[解析]在△ABC中,因为BD=2AD,设AD=x(x>0),则BD=2x.在△BCD中,因为CD⊥BC,CD=5,BD=2x,所以cos∠CDB==.在△ACD中,AD=x,CD=5,AC=5,由余弦定理得cos∠ADC==.因为∠CDB+∠ADC=π,所以cos∠ADC=-cos∠CDB,即=-,所以x=5,所以AD的长为5.
