第6章不等式、推理与证明第3节二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题1．（2014新课标全国卷Ⅰ，5分）不等式组的解集记为D.有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中真命题是()A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3解析：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.答案：C2．（2014新课标全国卷Ⅱ，5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为()A．10B．8C．3D．2解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8.答案：B3．（2014山东，5分）已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为()A．5B．4C.D．2解析：法一：不等式组表示的平面区域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝2，两端平方得4a2＋b2＋4ab＝20，又4ab＝2×a×2b≤a2＋4b2，所以20≤4a2＋b2＋a2＋4b2＝5(a2＋b2)，所以a2＋b2≥4，即a2＋b2的最小值为4，当且仅当a＝2b，即b＝，a＝时等号成立．法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝2.把2a＋b＝2看作平面直角坐标系aOb中的直线，则a2＋b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a2＋b2的最小值是坐标原点到直线2a＋b＝2距离的平方，即2＝4.答案：B4．（2014广东，5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝()A．8B．7C．6D．5解析：作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z的值最大，由⇒则m＝zmax＝2×2－1＝3.当直线y＝－2x＋z经过点B时，z的值最小，由⇒则n＝zmin＝2×(－1)－1＝－3，故m－n＝6.答案：C5．（2014安徽，5分）．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.或－1B．2或C．2或1D．2或－1解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或a＝2.法二：目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2.答案：D6．（2014天津，5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为()A．2B．3C．4D．5解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．由z＝x＋2y，得y＝－x＋.先画出直线y＝－x，然后将直线y＝－x进行平移．当直线过点A时，z取得最小值．由得A(1,1)，故z最小值＝1＋2×1＝3.答案：B7．（2014北京，5分）若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为()A．2B．－2C.D．－解析：作出线性约束条件的可行域．当k＞0时，如图(1)所示，此时可行域为y轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，显然此时z＝y－x无最小值．当k＜－1时，z＝y－x取得最小值2；当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k＜0时，如图(2)所示，此时可行域为点A(2,0)，B，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z＝y－x经过点B时，有最小值，即－＝－4⇒k＝－.故选D.答案：D8．（2014福建，5分）若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为________．解析：可行域为如图所示的阴影部分，当目标函数z＝3x＋y经过点A(0,1)时，z＝3x＋y取得最小值zmin＝3×0＋1＝1.答案：19．（2014浙江，5分）当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：由线性规划的可行域(如图)，求出三个交点坐标分别为A(1,0)，B(2，1)，C，都代入1≤ax＋y≤4，可得1≤a≤.答案：10．（2014湖南，5分）若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝_______...
