课后限时集训(六十二)(建议用时：60分钟)A组基础达标1．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求证：·≥9.[证明]因为x＞0，y＞0，所以1＝x＋y≥2.所以xy≤.所以＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9.当且仅当x＝y＝时，等号成立．2．已知α∈(0，π)，求证：2sin2α≤.[证明]2sin2α－＝4sinαcosα－＝＝－，因为α∈(0，π)，所以sinα＞0,1－cosα＞0，又(2cosα－1)2≥0，所以2sin2α－≤0，所以2sin2α≤.3．若a>0，b>0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．[解](1)由＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立．故a3＋b3≥2≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.4．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．[解]由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，当且仅当＝＝c－3时等号成立，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.B组能力提升1．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.[解](1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，因为p2＋q2≥2pq，q2＋r2≥2qr，p2＋r2≥2pr，所以2(p2＋q2＋r2)≥2pq＋2qr＋2pr，所以3(p2＋q2＋r2)≥(p＋q＋r)2＝9，则p2＋q2＋r2≥3.2．已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．(1)求＋＋的最小值；(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.[解](1)因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以＋＋≥3·＝3·≥3·＝3×＝6，当且仅当＝＝且a＝b，即a＝b＝，且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6.(2)证明：法一：由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[()2＋()2]·[()2＋()2]≥(·＋·)2＝(a＋b)2＝x1x2，当且仅当＝，即x1＝x2时取得等号．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.法二：因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x＋x)≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)＝x1x2(a2＋b2＋2ab)＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，当且仅当x1＝x2时，取得等号．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.
