第八章平面解析几何8.8曲线与方程练习理[A组·基础达标练]1．[2015·石家庄模拟]已知点Q在椭圆C：＋＝1上，点P满足OQ＝(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为()A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆答案D解析因为点P满足OQ＝(OF1＋OP)，所以Q是线段PF1的中点，设P(a，b)，由于F1是椭圆C：＋＝1的左焦点，则F1(－，0)，故Q，由点Q在椭圆C：＋＝1上，则P点的轨迹方程为＋＝1，故点P的轨迹方程为椭圆．2．方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是()答案C解析原方程可化为或x＋y＋1＝0.显然方程表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0的右上方部分，故选C.3．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x>3)D.－＝1(x>4)答案C解析如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．4．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为坐标原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线答案A解析设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)， OC＝λ1OA＋λ2OB，1∴又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．5．动点P为椭圆＋＝1(a>b>0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线答案D解析如图所示，设三个切点分别为M、N、Q.∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PM|＋|F2N|＝|F1N|＋|F2N|＝|F1F2|＋2|F2N|＝2a，∴|F2N|＝a－c，∴N点是椭圆的右顶点，∴CN⊥x轴，∴圆心C的轨迹为直线．6．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A．x2－＝1(x>1)B．x2－＝1(x<－1)C．x2＋＝1(x>0)D．x2－＝1(x>1)答案A解析设另两个切点为E、F，如图所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，所以P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a＝1，c＝3，∴b2＝8.故方程为x2－＝1(x>1)．故选A.7．已知|AB|＝2，动点P满足|PA|＝2|PB|，试建立恰当的平面直角坐标系，动点P的轨迹方程为________．答案2＋y2＝2解析如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)．设P(x，y)，因为|PA|＝2|PB|，所以＝2.两边平方，得(x＋1)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．整理，得x2＋y2－x＋1＝0，即2＋y2＝.故动点P的轨迹方程为2＋y2＝.8．动圆与⊙C1：x2＋y2＝1外切，与⊙C2：x2＋y2－8x＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹是________．答案以C1，C2为焦点的双曲线的右支解析⊙C2的圆心为C2(4,0)，半径为2，设动圆的圆心为M，半径为r，因为动圆与⊙C1外切，又与⊙C2内切，所以r>2，|MC1|＝r＋1，①|MC2|＝r－2.②由①－②得|MC1|－|MC2|＝3<|C1C2|＝4.根据双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线靠近C2的一支．9．设x，y∈R，i、j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，向量a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8，则点M(x，y)的轨迹方程为________．答案＋＝1解析由已知得a＝(x，y＋2)，b＝(x，y－2)，而|a|＋|b|＝8，故有＋＝8①，由①式知动点M(x，y)到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和为一常数，满足椭圆的定义，故M点轨迹为以F1、F2为焦点的椭圆，椭圆的长半轴长a＝4，所以短半轴长b＝2，故其轨迹方程为＋＝1.10．[2016·长春高三调研]已知平面上的动点P(x，y)及两个定点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2且k1k2＝－.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与曲线C交于不同两点M，N，当OM⊥ON时，求O点到直线l的距离(O为坐标原点)．解(1)设P(x，y)，由已知得·＝－，整理得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1(x≠±2)．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，消去y得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ＝(8km)2－4(4k2＋1...
