3.1.2空间向量的数乘运算A级基础巩固一、选择题1．若a，b是平面α内的两个向量，则()A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)答案：D2．已知向量a＝4e1－e2，b＝e1－e2，则()A．a，b一定共线B．a，b不一定共线C．只有当e1，e2不共线时，a，b才共线D．只有当e1，e2为不共线的非零向量时，a，b才共线答案：A3．下列命题中，正确命题的个数为()①若a，b为非零向量，且a∥b，则a与b方向相同或相反；②若AB＝CD，则A，B，C，D四点共线；③已知A，B，C，D是空间任意四点，则AB＋BC＋CD＋DA＝0；④若表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量．A．1B．2C．3D．4解析：易知①③正确．答案：B4．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是()A.OP＝OA＋OB＋OCB.OP＝OA＋OB＋OCC.OP＝－OA＋OB＋OCD．以上都错解析：因为＋＋＝1，所以选B.答案：B5.已知空间四边形OABC，其对角线为OB和AC，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量OA，OB，OC表示向量OG是()A.OG＝OA＋OB＋OCB.OG＝OA＋OB＋OCC.OG＝OA＋OB＋OCD.OG＝OA＋OB＋OC1解析：因为MG＝2GN，M，N分别是边OA，CB的中点，所以OG＝OM＋MG＝OM＋MN＝OM＋(MO＋OC＋CN)＝OM＋OC＋(OB－OC)＝OA＋OB＋OC.答案：A二、填空题6．已知A，B，C三点共线，则对于空间中任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值为________．解析：由题意得OC＝－OA－OB，所以－－＝1，λ＋m＋n＝0.答案：07．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则A，B，C，D中一定共线的三点是________．解析：BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，所以A，B，D三点共线．答案：A、B、D8．已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．答案：三、解答题9．已知M，G分别是空间四边形ABCD的两边BC，CD的中点，化简下列各式．(1)AB＋BC＋CD；(2)AB＋(BD＋BC)；(3)AG－(AB＋AC)．解：(1)如图所示，AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD.(2)取BD的中点H，连接MG，GH.因为M，G分别为BC，CD的中点，所以BMGH为平行四边形，所以(BD＋BC)＝BH＋BM＝BG，从而AB＋(BD＋BC)＝AB＋BG＝AG.(3)分别取AB，AC的中点S，N，连接SM，AM，MN，则ASMN为平行四边形，所以(AB＋AC)＝AS＋AN＝AM，所以AG－(AB＋AC)＝AG－AM＝MG.10.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.2求证：向量MN，CD，DE共面．证明：因为M在BD上，且BM＝BD，所以MB＝DB＝DA＋AB.同理AN＝AD＋DE.所以MN＝MB＋BA＋AN＝＋BA＋＝BA＋DE＝CD＋DE.又CD与DE不共线，根据向量共面的充要条件可知MN，CD，DE共面．B级能力提升1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OM＝xOA＋OB＋OC，则x的值为()A．1B．0C．3D.答案：D2．如图所示，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．解析：OE＝OA＋AE＝a＋AD＝a＋(OD－OA)＝a＋OD＝a＋×(OB＋OC)＝a＋b＋c.答案：a＋b＋c3.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C，OD，OC1是共面向量．证明：设C1B1＝a，C1D1＝b，C1C＝c，因为四边形B1BCC1为平行四边形，所以B1C＝c－a，又O是B1D1的中点，所以C1O＝(a＋b)，所以OC1＝－(a＋b)，OD1＝C1D1－C1O＝b－(a＋b)＝(b－a)．因为D1D綊C1C，所以D1D＝c，所以OD＝OD1＋D1D＝(b－a)＋c.若存在实数x，y，使B1C＝xOD＋yOC1(x，y∈R)成立，则c－a＝x＋y＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.3因为a，b，c不共线，所以得所以B1C＝OD＋OC1，所以B1C，OD，OC1是共面向量．4
