考查角度2三种常用的数列求和方法分类透析一分组转化法求和例1已知等差数列{an}满足a2=2,a1+a4=5.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=3,b2=6,{bn-an}为等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.分析(1)利用已知条件求出等差数列{an}的通项公式;(2)因为{bn-an}为等比数列,所以数列{bn}的前n项和Tn可以看成数列{bn-an}的前n项和与数列{an}的前n项和的总和.解析(1)设等差数列{an}的公差为d, 等差数列{an}满足a2=2,a1+a4=5,∴{2=a1+d,5=2a1+3d,解得a1=d=1,∴an=1+(n-1)×1=n.(2)设等比数列{bn-an}的公比为q, b1=3,b2=6,∴b1-a1=3-1=2,b2-a2=6-2=4,∴q=2.∴bn-an=2×2n-1=2n,∴bn=n+2n,∴数列{bn}的前n项和Tn=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)=n(n+1)2+2(1-2n)1-2=n(n+1)2+2n+1-2.方法技巧从求和数列的通项入手,将其转化为等差数列与等比数列的和或差的形式,再利用等差数列与等比数列的求和公式进行分组求和.分类透析二错位相减法求和例2已知{an}的前n项和Sn=4n-n2+4.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{7-an2n}的前n项和Tn.分析(1)由{an}的前n项和求出数列{an}的通项公式;(2)利用错位相减法求和即可(当n=1时要单独考虑).解析(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-n2-[4(n-1)-(n-1)2]=5-2n;当n=1时,a1=S1=7.∴an={7,n=1,5-2n,n≥2.(2)令bn=7-an2n,当n=1时,T1=b1=7-721=0;当n≥2时,bn=7-an2n=n+12n-1,∴Tn=0+32+422+523+…+n2n-2+n+12n-1,12Tn=322+423+524+…+n2n-1+n+12n,两式相减得12Tn=1+12+122+…+12n-1-n+12n=1-(12)n1-12-n+12n=2-n+32n,∴Tn=4-n+32n-1(n≥2).当n=1时,满足上式.综上所述,Tn=4-n+32n-1.方法技巧用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比未知,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.分类透析三an=1n(n+k)型的裂项相消法求和例3已知数列{an}为单调递增数列,Sn为其前n项和,2Sn=an2+n.(1)求{an}的通项公式.(2)若bn=an+22n+1·an·an+1,Tn为数列{bn}的前n项和,证明:Tn<12.分析(1)由递推公式2Sn=an2+n求出{an}的通项公式;(2)先用裂项相消法求和,再进行适当放缩证明.解析(1)当n=1时,2S1=2a1=a12+1,即(a1-1)2=0,解得a1=1.又{an}为单调递增数列,所以an≥1.由2Sn=an2+n得2Sn+1=an+12+n+1,所以2Sn+1-2Sn=an+12-an2+1,整理得2an+1=an+12-an2+1,所以an2=(an+1-1)2.所以an=an+1-1,即an+1-an=1,所以{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以an=n.(2)bn=an+22n+1·an·an+1=n+22n+1·n·(n+1)=12n·n-12n+1·(n+1),所以Tn=(121×1-122×2)+(122×2-123×3)+…+[12n×n-12n+1×(n+1)]=12-12n+1×(n+1)<12.方法技巧(1)用裂项相消法求和时,抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项.(2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{an}是等差数列,则1anan+1=1d(1an-1an+1),1anan+2=12d(1an-1an+2).分类透析四an=1❑√n+❑√n+k型的裂项相消法求和例4已知数列{an}的首项为a1=1,且(an+1)an+1=an,n∈N*.(1)求证:数列{1an}是等差数列.(2)设bn=❑√anan+1❑√n+1+❑√n,求数列{bn}的前n项和Tn.分析(1)通过递推公式(an+1)an+1=an证明数列{1an}是等差数列;(2)将bn=❑√anan+1❑√n+1+❑√n裂项,再求和.解析(1)由an+1=anan+1,得1an+1=an+1an=1an+1,则1an+1-1an=1,又a1=1,所以1a1=1.所以数列{1an}是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)可知,1an=n,故an=1n.又bn=❑√anan+1❑√n+1+❑√n=❑√1n(n+1)❑√n+1+❑√n=❑√n+1-❑√n❑√n(n+1)=1❑√n-1❑√n+1,所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1-1❑√2)+(1❑√2-1❑√3)+(1❑√3-1❑√4)+…+1❑√n-1❑√n+1=1-1❑√n+1.方法技巧本题主要考查等差数列的定义与通项公式,以及裂项相消法求数列的和,属于中档难度题.常见的裂项技巧:(1)1n(n+k)=1k(1n-1n+k);(2)1❑√n+k+❑√n=1k(❑√n+k-❑√n);(3)1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1);(4)1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)-1(n+1)(n+2)].此...
