课时分层作业(十二)导数及其几何意义(建议用时：40分钟)一、选择题1．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在C[根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则()A．f′(x0)>0B．f′(x0)＝0C．f′(x0)<0D．f′(x0)不存在C[切线的斜率为k＝－2，由导数的几何意义知f′(x0)＝－2<0，故选C.]3．已知曲线f(x)＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是()A．(1,1)B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1)D．(2,8)或(－2，－8)C[设P(x0，y0)，则f′(x0)＝lim＝lim[3x＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3x.由题意，知切线斜率k＝3，令3x＝3，得x0＝1或x0＝－1.当x0＝1时，y0＝1；当x0＝－1时，y0＝－1.故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)，故选C.]4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝bC[ f′(x0)＝lim＝lim＝lim(a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.]5．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－4＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0A[设切点为(x0，y0)， f′(x0)＝lim＝lim(2x0＋Δx)＝2x0.由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，∴x0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.]二、填空题6．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是__________．(填序号)1②[由y＝f(x)的图像及导数的几何意义可知，当x<0时，f′(x)>0；当x＝0时，f′(x)＝0；当x>0时，f′(x)<0.故②符合．]7．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，则常数a＝________.2[因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为lim＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.]8．若f′(x0)＝1，则lim＝__________.－[lim＝－lim＝－f′(x0)＝－.]三、解答题9．试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．[解]设所求切线的切点为A(x0，y0)，则f′(x0)＝lim＝lim＝2x0. 点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x，又 A是切点，∴过点A的切线的斜率k＝2x0， 所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，∴其斜率为＝.∴2x0＝，解得x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.10．“菊花”烟花是壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．[解]烟花在t＝2s时的瞬时速度就是h′(2)．而＝＝－4.9－4.9Δt，所以h′(2)＝lim＝lim(－4.9－4.9Δt)＝－4.9，即在t＝2s时，烟花正以4.9m/s的瞬时速度下降．如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t＝1.5s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；2在0～1.5s之间，曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5s后，曲线在任何点处的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．11．(多选题)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则()A．a＝－1B．b＝3C．k＝2D．f′(1)＝2ABCD[依导数定义可求得，由此解得ABCD正确．]12．设f(x)在x＝1附近有定义，且满足lim＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．...
