高考数学一轮复习 专题10.12 定直线练习（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第十二讲定直线定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一求定直线【例3】已知A,B两点在抛物线C:x2=4y上，点M(0,4)满足⃑MA=λ⃑BM．（1）若线段|AB|=12❑√2，求直线AB的方程；（2）设抛物线C过A、B两点的切线交于点N．求证：点N在一条定直线上．【答案】（1）y=±❑√2x+4；（2）见解析【解析】（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，lAB:y=kx+4与x2=4y联立得x2−4kx−16=0，Δ=(−4k)2−4(−16)=16k2+64>0，x1+x2=4k,x1x2=−16，|AB|=❑√1+k2·❑√(x1+x2)2−4x1x2=❑√1+k2·4❑√k2+4，又|AB|=12❑√2，即❑√1+k2·4❑√k2+4=12❑√2，解得：k2=2,k2=−7（舍），所以直线的方程y=±❑√2x+4（2）证明：过点A的切线：y=12x1(x−x1)+y1=12x1x−14x12，①，过点B的切线：y=12x2x−14x22，②，联立①②得点N(x1+x22,−4)，所以点N在定直线y=−4上．【举一反三】1．已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点M(2,m)(m>0)在抛物线上，且|MF|=2.（1）求抛物线C的方程；【套路秘籍】---千里之行始于足下（2）若点P(x0,y0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，过点F作切线l0的垂线，垂足为Q，则点Q是否在定直线上，若是，求定直线的方程；若不是，说明理由.【答案】（1）x2=4y（2）见解析【解析】（1）由抛物线的定义可知，|MF|=m+p2=2，①又M(2,m)在抛物线上，所以2pm=4，②由①②，解得p=2，m=1，所以抛物线C的方程为x2=4y.（2）①当x0=0，即点P为原点时，易知点Q在直线y=0上；②当x0≠0，即点P不在原点时，由（1）得，x2=4y，则y'=12x，所以在点P处的切线的斜率为12x0，所以在点P处的切线l0的方程为y−y0=12x0(x−x0)，又x02=4y0，所以y−y0=12x0(x−x0)可化为y=12x0x−y0.又过点F与切线l0垂直的方程为y−1=−2x0x，联立方程¿，消去x，得y=−14(y−1)x02−y0.(¿)因为x02=4y0，所以(¿)可化为y=−yy0，即(y0+1)y=0，由y0>0，可知y=0，即垂足Q必在x轴上.所以点Q必在直线y=0上，综上，点Q必在直线y=0上.考向二证明点在定直线上【例2】如图，菱形ABCD的面积为8❑√2.⃑AB⋅⃑AD=−4，斜率为k的直线l交y轴于点P，且⃑OP=2⃑OA，以线段BD为长轴，AC为短轴的椭圆与直线l相交于M,N两点（M与A在x轴同侧）.（1）求椭圆的方程；（2）求证：AN与CM的交点在定直线y=1上.【答案】（1）x28+y24=1（2）见证明【解析】（1）设A(0,b),B(−a,0),D(a,0),⃑AB(−a,−b),⃑AD=(a,−b).∴⃑AB⋅⃑AD=−a2+b2,∴¿解得a2=8,b2=4∴椭圆方程为x28+y24=1（2）易得P(0,4)，设直线l:y=kx+4与椭圆x2+2y2=8联立，得(1+2k2)x2+16kx+24=0由Δ>0得k2>32，设M(x1,kx1+4),N(x2,kx2+4)，∴x1+x2=−16k1+2k2,x1x2=241+2k2∴kMC=kx1+6x1直线MC的方程为y+2=kx1+6x1x①kAN=kx2+2x2直线AN的方程为y−2=kx2+2x2x②联立①②消去x，得(y+2)x1kx1+6=(y−2)x2kx2+2∴y+2y−2=x2(kx1+6)x1(kx2+2)=kx1x2+6x2kx1x2+2x1=24k1+2k2+6x224k1+2k2+2x1=12k1+2k2+3x212k1+2k2+x1¿12k1+2k2+3x212k1+2k2+(−16k1+2k2−x2)=3(4k1+2k2+x2)−(4k1+2k2+x2)=−3∴y=1从而命题得证【举一反三】1．已知点(1,❑√2)，(❑√22,−❑√3)都在椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)上.（1）求椭圆C的方程；（2）过点M(0,1)的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q（异于顶点），记椭圆C与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上.【答案】（1）y24+x22=1；（2）见解析.【解析】（1）由题意得¿，得¿，故椭圆C的方程为y24+x22=1.（2）由题意可设直线l的方程为y=kx+1，P(x1,y1)，Q(x2,y2).联立¿整理得(k2+2)x2+2kx−3=0.所以x1+x2=−2kk2+2，x1x2=−3k2+2，则2kx1x2=3(x1+x2).①由题意不妨设A1(0,2)，A2(0,−2)，则直线A1P的方程为x=x1y1−2(y−2)，直线A2Q的方程为x=x2y2+2(y+2).联立¿整理得(y2+2)x1(y−2)=(y1−2)x2(y+2)，所以(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1−2x2.把①代入上式，得(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1−2x2=6(x1+x2)+6x1−2x2=12x1+4x2，当x2≠−3x1时，可得y=4，当x2=−3x1时，易求kA1P=kA2Q=kx1−1x1...