高中数学错解一道题巧得一性质——浅析椭圆焦顶角的最大值我们解数学题出现错解是很正常的，但对于错解我们往往重视正解，而淡化错因分析，如果在错解后我们能认真分析归纳总结，那么往往可以得出一些巧妙的性质。把这些性质再应用于其他题目求解中，从而可实现分析错解，巧得新思路，提高解题能力。题目：已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若P、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）。A.B.3C.D.错解：设，在Rt△中，，根据椭圆定义得，把两边平方减去，得，而选C。点击：此法初看很巧妙，但解法是错误的。试问∠能否为直角。性质：若定义椭圆上点P与焦点所成∠为焦顶角，则点P在椭圆短轴端点时，焦顶角最大。证明：设点P在椭圆上，焦点为，设，则。在△中，由余弦定理得：。由得，则。而余弦函数在（0，π）上单调递减，则当时，最大，此时点P在短轴端点（0，b）或（0，－b）处（以下不妨设（0，b））。正解：当点P在椭圆短轴上与点（0，3）重合时（点P在点（0，－3）时情况相同），在中，，则，而，则<90°，即的最大值取不到90°。要使为直角三角形，则轴或轴，把x=代入椭圆方程得，故选D。用心爱心专心练一练：1.点P在椭圆上，为焦点，则∠的范围为（）。A.［0°，60°］B.［60°，90°］C.［0°，90°］D.［0°，120°］2.点P在椭圆上，为焦点，满足∠为直角的点P的个数为（）。A.1B.2C.3D.43.点P在椭圆上，为焦点，满足为直角三角形的点P的个数为（）。A.2B.4C.6D.84.点P在椭圆上，焦点为，∠的最大值为90°，则椭圆方程为________。5.在椭圆上，为焦点，存在点P满足∠=60°，则离心率e的范围为_________。答案：1.D2.D3.C4.5.用心爱心专心
