考点32椭圆一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选B.设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点F(c,0),则直线的方程为+=1,即bx+cy-bc=0,由题意可知=b,又a2=b2+c2,得b2c2=b2a2,所以e==.2.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.【解题指南】点M是直线AE和直线BM的交点,点M的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c的联系.【解析】选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直线AE的方程为y=k,令x=0可得点E坐标为,所以OE的中点H坐标为,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM的斜率为-,可设其方程为y=-x+a,联立可得点M横坐标为-,又点M的横坐标和左焦点相同,所以-=-c,所以e=.3.(2016·浙江高考理科·T7)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m
1D.m1,n>0,所以m>n,(e1e2)2>1,所以e1e2>1.二、填空题4.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.【解题指南】利用kBF·kCF=-1计算得出离心率的值.【解析】将直线y=与椭圆的方程联立得B,C,F(c,0),则kBF=,kCF=,因为∠BFC=90°,所以kBF·kCF=×=-1,整理得b2=3a2-4c2,所以a2-c2=3a2-4c2,即3c2=2a2e=⇒=.答案:5.(2016·浙江高考理科·T19)如图,设椭圆+y2=1(a>1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示).(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.【解题指南】(1)先联立y=kx+1和+y2=1,可得x1,x2,再利用弦长公式可得直线y=kx+1被椭圆截得的线段长.(2)先假设圆与椭圆的公共点有4个,再利用对称性及已知条件可得任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时,a的取值范围,进而可得椭圆的离心率的取值范围.【解析】(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AM,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-.因此|AM|=.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)[1+++a2(2-a2)]=0.由于k1≠k2,k1,k2>0,得1+++a2(2-a2)=0,因此=1+a2(a2-2)①.因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件是1b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标.(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.【解题指南】(1)利用直线和椭圆只有一个公共点,联立方程,方程由两个相等的实根,解出b2的值,从而得出椭圆的标准方程.(2)利用椭圆的几何性质,数形结合及根与系数的关系,进行求解.【解析】(1)由已知,a=b,则椭圆E的方程为=1,由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0①,方程①根的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,此方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为=1.点T坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l'的方程为y=x+m,由可得3x2+4mx+=0②,所以Δ=16>0,解得-
