高中数学构建新数列巧解递推数列题学法指导封云递推数列是国内外高考数学和竞赛数学命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答题关键。一、求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。例1（1981年第22届IMO预选题）数列中，求。分析：本题的难点是已知递推关系式中的较难处理，可构建新数列，令，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。解：构建新数列，使则即所以化简得所以即数列是以2为首项，为公比的等比数列。即所以二、证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。例2（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）设求证：分析：利用待证的不等式中含有及递推关系式中含有这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列，使，化简递推关系式。用心爱心专心证明：易知，构建新数列，使则所以又，从而，因此，新数列是以为首项，为公比的等比数列。考虑到当时，有所以，注：对形如都可采用三角代换。三、以非线性递推关系为背景的高考题非线性递推关系的特征方程为，设方程的两个根为则数列为等比数列；若方程只有唯一的一个根，则是等比数列。例3（2005年重庆市高考题）设数列满足且，记求的通项公式及数列的前n项和。解：由已知得，，所以其特征方程为解得两个特征根所以有所以数列是公比为的等比数列。故，解得，则所以故数列的前n项和例4（2000年全国高中联赛加试题）设数列和满足，且用心爱心专心（n＝0，1，2，…）求证：是完全平方数。分析：先用代入法消去，得，如果等式中没有常数项6，就可以利用特征根方法求通项，因此可令易求得证明：由①式得，代入②化为构建新数列，且由特征方程得两根所以当n＝0，1时，有解得则则因为为正偶数，所以，是完全平方数。从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。用心爱心专心
