考点测试27平面向量基本定理及坐标表示高考概览本考点是高考常考知识点，常考题型为选择题和填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.了解平面向量基本定理及其意义2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件一、基础小题1．已知点A(1，1)，B(2，3)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝()A．(－5，－5)B．(6，4)C．(－2，4)D．(2，4)答案A解析 AB＝(1，2)，∴BC＝AC－AB＝(－5，－5)．故选A.2．设向量e1，e2为平面内所有向量的一组基底，且向量a＝3e1－4e2与b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则实数k的值为()A．8B．－8C．4D．－4答案B解析由a与b不能作为一组基底，则a与b必共线，故＝，即k＝－8.故选B.3．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝()A.B．2C．－D．－2答案C解析由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－，故选C.4．在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC，点E是线段BC的中点，若AE＝λAB＋μAD，则λ＋μ＝()A.B．C．D．答案B解析取AB的中点F，连接CF，则四边形AFCD是平行四边形，所以CF∥AD，且CF＝AD，因为AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(FC－FB)＝AB＋＝AB＋AD，所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝，故选B.5．已知点A(1，－2)，若向量AB与向量a＝(2，3)同向，且|AB|＝，则点B的坐标为()A．(2，3)B．(－2，3)C．(3，1)D．(3，－1)答案C解析因为向量AB与向量a同向，所以AB＝ka(k>0)，设AB＝(x，y)，则由|AB|＝得k＝1，故OB＝OA＋AB＝(1，－2)＋(2，3)＝(3，1)．故选C.6．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝()A.a＋bB．a＋bC.a＋bD．a＋b答案C解析解法一：根据题意，得AB＝AC＋DB＝(a－b)，AD＝AC＋BD＝(a＋b)． E是线段OD的中点，DF∥AB，∴＝＝，∴DF＝AB＝(a－b)，∴AF＝AD＋DF＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.故选C.解法二：根据题意，得AB＝AC＋DB＝(a－b)，AD＝AC＋BD＝(a＋b)．令AF＝tAE，则AF＝t(AB＋BE)＝t＝a＋b.由AF＝AD＋DF，令DF＝sDC，则DF＝a－b，又AD＝(a＋b)，所以AF＝a＋b，所以解方程组得故AF＝a＋b，故选C.7．已知e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，a＝(－1，2)．若a＝λ1e1＋λ2e2，则实数对(λ1，λ2)为()A．(1，1)B．(－1，1)C．(－1，－1)D．(1，－1)答案B解析因为e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，所以a＝λ1e1＋λ2e2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为a＝(－1，2)，所以解得故选B.8．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(10，k)，当A，B，C三点共线时，实数k的值为()A．3B．11C．－2D．－2或11答案D解析因为AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，BC＝OC－OB＝(6，k－5)，且AB∥BC，所以(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝－2或11.故选D.9．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，OA＝(2，4)，OB＝(1，3)，若点E满足OC＝3EC，则点E的坐标为()A.B．C.D．答案A解析易知OC＝OB－OA＝(－1，－1)，则C＝(－1，－1)，设E(x，y)，则3EC＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由OC＝3EC知所以所以E.10．已知平面向量a，b，a＝(2cosα，2sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，若对任意的正实数λ，|a－λb|的最小值为，则此时|a－b|＝()A．1B．2C．D．答案D解析由题意，得|a－λb|＝＝＝，由题意可得，cos(α－β)>0，则当λ＝2cos(α－β)时，|a－λb|取得最小值，即|a－λb|min＝＝，解得cos(α－β)＝，此时λ＝1，则|a－b|＝＝＝，故选D.11．已知向量OA＝(2，0)，OB＝(0，2)，AC＝tAB，t∈R，则当|OC|最小时，t＝________.答案解析由AC＝tAB知A，B，C三点共线，即动点C在直线AB上．从而当OC⊥AB时，|OC|最小，易得|OA|＝|OB|，此时|AC|＝|AB|，则t＝.12．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案解析 DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，∴λ1＝－，λ2＝，∴λ1＋λ2＝.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2，3)，b＝(3...
