课时分层作业(十九)向量的正交分解与向量的直角坐标运算(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知A(3,1)，BA的坐标是(1,2)，则B点坐标是()A．(4,3)B．(2，－1)C．(－1,2)D．(3,4)B[设B点坐标为(x，y)，又BA＝(3,1)－(x，y)＝(3－x,1－y)＝(1,2)，∴∴∴B(2，－1)．]2．已知向量OA＝(1，－2)，OB＝(－3,4)，则AB等于()A．(－2,3)B．(2，－3)C．(2,3)D．(－2，－3)A[依题意得AB＝OB－OA＝(－4,6)，AB＝(－4,6)＝(－2,3)，选A.]3．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是()A．向量a的中点坐标为(－2,3)B．向量a的起点坐标为(－2,3)C．向量a与b互为相反向量D．向量a与b关于原点对称C[a＝－b，则a与b互为相反向量，a与b的坐标关于原点对称，故D错误．]4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于()A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)D[因为4a,3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6)．]5．若a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c用a，b表示为()A．－a＋bB.a－bC.a－bD．－a＋bB[设c＝λ1a＋λ2b(λ1、λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，则∴∴c＝a－b.故选B.]二、填空题6．已知点A(2,3)，B(－1,5)，且AC＝AB，则点C的坐标为________．[因AC＝AB，即OC－OA＝(OB－OA)，所以OC＝OA＋OB＝(2,3)＋(－1,5)＝.]7．已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量2AB＋3BC＋AC的坐标为________．(3,4)[根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴AB＝(1,0)，BC＝(0,1)，AC＝(1,1)，∴2AB＋3BC＋AC＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)．]8．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量AB同向的单位向量是________．[AB＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，∴与AB同方向的单位向量为＝＝.]三、解答题9．若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标．[解]设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有解得或故所求向量为a＝，b＝，或a＝，b＝.10．(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求AB，AC，AB＋AC，AB－AC，2AB＋AC.(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标．[解](1)因为A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，所以AB＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)，AC＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)，AB＋AC＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)，AB－AC＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)，2AB＋AC＝2(3，－1)＋(－3,2)＝(6，－2)＋＝.(2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)，3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．[等级过关练]1．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(cosα，sinα)(α∈R)，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为()A．2B．3C．4D．16D[∵ma＋nb＝c，∴(m＋n，m－n)＝(cosα，sinα)(α∈R)，∴，∴，∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9＝10－6sin.∵sin∈[－1,1]．∴(m－3)2＋n2的最大值为16.]2．在四边形ABCD中，AB＝DC＝(1,0)，＋＝，则四边形ABCD的面积是()A.B.C.D.D[为在BA方向上的单位向量，记为e1＝BM，类似地，设＝e2＝BN，＝e3＝BG，所以e1＋e2＝e3，可知四边形BNGM为菱形，且|BM|＝|BG|＝|BN|，所以∠MBN＝120°，从而四边形ABCD也为菱形，|AB|＝|BC|＝1，所以SABCD＝|AB|·|BC|·sin∠ABC＝.]3．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设OC＝λOA＋(1－λ)OB(λ∈R)，则λ的值为________．[如图所示，∵∠AOC＝45°，∴设C(x，－x)，则OC＝(x，－x)．又∵A(－3,0)，B(0,2)，∴λOA＋(1－λ)OB＝(－3λ，2－2λ)，∴⇒λ＝.]4．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量之间的一个运算为m·n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p·q＝(－4，－3)，则q＝________.(－2,1)[由题意可设q＝(x，y)，则p·q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)，∴，解得∴q＝(－2,1)．]5．以原点O及点A(2，－2)为顶点作一个等边△AOB，求点B的坐标及向量AB的坐标．[解]因为△AOB为等边三角形，且A(2，－2)，所以|OA|＝|OB|＝|AB|＝4，因为在0～2π范围内，以Ox为始边，OA为终边的角为，当点B在OA的上方时，以OB为终边的角为，由三角函数的定义得：OB＝＝(2，2)．所以AB＝OB－OA＝(2，2)－(2，－2)＝(0,4)．当点B在OA的下方时，以OB为终边的角为，由三角函数的定义得：OB＝(0，－4)，所以AB＝OB－OA＝(0，－4)－(2，－2)＝(－2，－2)．综上所述，点B的坐标为(2，2)，AB的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0，－4)，AB的坐标为(－2，－2).
