3.4.2导数在实际问题中的应用[基础达标]1.设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.D．ln2解析：选B.因为f(x)＝xlnx，所以f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1，所以由f′(x0)＝2得lnx0＋1＝2，所以x0＝e.2.(2014·沈阳二中高二期末)函数f(x)＝·sinx的导数为()A．f′(x)＝2·sinx＋·cosxB．f′(x)＝＋·cosxC．f′(x)＝2－·cosxD．f′(x)＝－·cosx解析：选B.f′(x)＝()′sinx＋(sinx)′＝＋cosx.3.曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2解析：选A. y′＝＝，∴切线斜率k＝＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4.(2014·西安检测)已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为()A．0B．－2C．2D．－4解析：选D. f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.5.若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1，0)解析：选C.由题意知x＞0，且f′(x)＝2x－2－，即f′(x)＝＞0，∴x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2.又 x＞0，∴x＞2.6.等比数列{an}中，a1＝2，a2＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________．解析： f(x)＝x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]，f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，∴f′(0)＝(－a1)(－a2)…(－a8)＋0·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′＝a1a2…a8，∴f′(0)＝21·22·…·28＝21＋2＋…＋8＝236.故填236.答案：236若对任意x∈R，f′(x)＝3x2，f(－1)＝1，则f(x)＝________．解析：由题意得，f(x)＝x3＋c，由f(－1)＝1，得－1＋c＝1，所以c＝2，f(x)＝x3＋2.答案：x3＋28.(2014·大连高二检测)函数f(x)＝x·ex在点(1，e)处的切线方程为________．解析：由导数的几何意义，切线的斜率k＝f′(x)|x＝1＝(xex)′|x＝1＝ex(x＋1)|x＝1＝2e，所以切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.答案：y＝2ex－e9.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1，5)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，求f(x)的解析式．解： f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，得解之∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x3－9x2＋12x.10.已知函数f(x)＝ax2＋lnx的导数为f′(x)．(1)求f(1)＋f′(1)；1(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，即f′(x)＝0⇒2ax＋＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．[能力提升]1.等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．215解析：选C.因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)]′·0＝a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.2.若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于________．解析：设过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.又点(1，0)在切线上，则x0＝0或x0＝.当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.答案：－1或－3.(2012·高考山东卷节选)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．求k的值．解：由f(x)＝，得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.4．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数的导函数f′(x)在区间(－1...
