第6节正弦定理和余弦定理[A级基础巩固]1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()A.B.C．2D．2解析：因为S＝×AB×AC×sinA＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.答案：B2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．答案：A3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则A＝()A.B.C.D.解析：因为(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，所以由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即b2＋c2－a2＝bc.所以cosA＝＝.又A∈(0，π)，所以A＝.答案：B4．(2020·安庆模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于()A.B.C.D.解析：由bsin2A＝asinB，及正弦定理得2sinBsinAcosA＝sinAsinB，得cosA＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.答案：D5．(2020·潍坊调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝()A.B.C.D.解析：因为a＝2，b＝3，c＝4，所以cosA＝＝＝＝，则sinA＝＝＝＝，则h＝ACsinA＝bsinA＝3×＝.答案：D6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________．解析：根据正弦定理可得sinBsinA＋sinAcosB＝0，即sinA(sinB＋cosB)＝0，显然sinA≠0，所以sinB＋cosB＝0，故B＝.答案：7．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：因为bsinC＋csinB＝4asinBsinC，所以由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC>0，所以sinA＝.由余弦定理得cosA＝＝＝>0，所以cosA＝，bc＝＝，所以S△ABC＝bcsinA＝××＝.答案：8．已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．解析：因为AB＝AC＝4，BC＝2，所以cos∠ABC＝＝，因为∠ABC为三角形的内角，所以sin∠ABC＝，所以sin∠CBD＝，故S△CBD＝×2×2×＝.因为BD＝BC＝2，所以∠ABC＝2∠BDC.又cos∠ABC＝，所以2cos2∠BDC－1＝，得cos2∠BDC＝，又∠BDC为锐角，所以cos∠BDC＝.答案：9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin2B＝bsinA.(1)求B；(2)若cosA＝，求sinC的值．解：(1)在△ABC中，由＝，可得asinB＝bsinA，又由asin2B＝bsinA，得2asinBcosB＝bsinA＝asinB，所以cosB＝，得B＝.(2)由cosA＝，可得sinA＝，则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin(A＋)＝sinA＋cosA＝.10．(2020·佛山质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bsinCcosA＋asinA＝2csinB.(1)证明：△ABC为等腰三角形；(2)(一题多解)若D为BC边上的点，BD＝2DC，且∠ADB＝2∠ACD，a＝3，求b的值．(1)证明：因为2bsinCcosA＋asinA＝2csinB，所以由正弦定理得2bccosA＋a2＝2cb，由余弦定理得2bc·＋a2＝2bc，化简得b2＋c2＝2bc，所以(b－c)2＝0，即b＝c.故△ABC为等腰三角形．(2)解：法一由已知得BD＝2，DC＝1，因为∠ADB＝2∠ACD＝∠ACD＋∠DAC，所以∠ACD＝∠DAC，所以AD＝CD＝1.又因为cos∠ADB＝－cos∠ADC，所以＝－，则＝－，得2b2＋c2＝9，由(1)可知b＝c，得b＝.法二由题设得CD＝＝1，又由(1)知，AB＝AC，则∠B＝∠C，因为∠DAC＝∠ADB－∠C＝2∠C－∠C＝∠C＝∠B.所以△CAB∽△CDA，所以＝，即＝，所以b＝.[B级能力提升]11．(2020·青岛调研)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC的面积的最大值为()A．4B．2C．3D.解析：由＝得2acosB－cosBc＝bcosC，由正弦定理得，2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，又知sin(B＋C)＝sinA＝sinBcosC＋cosBsinC，所以2sinAcosB＝sinA，则cosB＝.由B∈(0，π)，所以B＝.又知cosB＝＝≥1－＝1－...
