§4导数的四则运算法则A组1.若f(x)=,则f'(-1)=()A.B.-C.D.-解析:因为f(x)=,所以f'(x)=-,所以f'(-1)=-×(-1=-.答案:D2.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值是()A.B.C.D.解析:因为f'(x)=3ax2+6x,所以f'(-1)=3a-6,所以3a-6=4,故a=.答案:D3.已知点P在曲线y=2sincos上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.B.C.D.解析:∵y=2sincos=sinx,∴y'=cosx.设P(x0,y0),由题意,知切线的斜率存在,则曲线在点P处的切线的斜率为tanα=cosx0,∴-1≤tanα≤1.∵0≤α<π,∴α∈,故选D.答案:D4.若函数f(x)=f'(1)x3-2x2+3,则f'(1)的值为()1A.0B.-1C.1D.2解析:因为f(x)=f'(1)x3-2x2+3,所以f'(x)=3f'(1)x2-4x,所以f'(1)=3f'(1)-4,所以f'(1)=2.答案:D5.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是.解析:∵y=,∴y'=<0.∵=-=-≥-=-1,当且仅当x=0时取等号,∴-1≤y'<0.∴-1≤tanα<0,即≤α<π.答案:6.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为.解析:由y=,得y'=,所以所求切线的斜率为2,故所求切线方程为y-(-1)=2(x+1),即2x-y+1=0.答案:2x-y+1=07.若f(x)=cos2-sin2+tan,则f'=.解析:∵f(x)=cosx+,∴f'(x)=-sinx,∴f'=-sin=-.答案:-8.求下列函数的导数.(1)y=xcosx-sinx;2(2)y=x-sincos;(3)y=.解(1)∵y=xcosx-sinx,∴y'=(xcosx)'-(sinx)'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.(2)∵y=x-sincos=x-sinx,∴y'='=x'-(sinx)'=1-cosx.(3)∵y=,∴y'='=.9.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx过点(1,5),其导函数y=f'(x)的图像如图所示,求f(x)的解析式.解∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且f'(1)=0,f'(2)=0,f(1)=5,∴解得∴函数y=f(x)的解析式为f(x)=2x3-9x2+12x.B组1.已知f(x)=x-5+3sinx,则f'(x)等于()A.-5x-6-3cosxB.x-6+3cosxC.-5x-6+3cosxD.x-6-3cosx解析:y'=-5x-6+3cosx.答案:C2.函数f(x)=的导数是()A.(x>0)B.3C.D.解析:f(x)=,∴f'(x)=.答案:C3.函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(e)+lnx,则f'(e)等于()A.e-1B.-1C.-e-1D.-e解析:∵f(x)=2xf'(e)+lnx,∴f'(x)=2f'(e)+,∴f'(e)=2f'(e)+,解得f'(e)=-,故选C.答案:C4.若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=.解析:f'(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,∵曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,∴f(0)=a=g(0)=1,且f'(0)=0=g'(0)=b,∴a+b=1.答案:15.导学号01844037已知曲线C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线,它们的倾斜角互补,则a的值为.解析:函数f(x)的导数f'(x)=3x2-a.过直线外A(1,0)作曲线C的切线.设切点(x0,f(x0)),则切线方程为y=(3-a)(x-1),将(x0,f(x0))代入得f(x0)=-ax0+a,即2-3=0,解得x0=0或x0=.故满足条件的切线有两条,且它们的斜率分别为-a与-a.4因为两条切线的倾斜角互补,所以-a+-a=0,故a=.答案:6.求下列函数的导数.(1)y=;(2)y=-sin.解(1)y==-2,∴y'='=.(2)y=-sin·cos=-sinx,∴y'='=-cosx.7.导学号01844038已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解(1)∵f'(x)=3x2+1,∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13.∴切线的方程为13x-y-32=0.(2)解法一:设切点为(x0,y0),5则直线l的斜率为f'(x0)=3+1,∴直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16,又∵直线l过原点(0,0),∴0=(3+1)(-x0)++x0-16,整理得,=-8,∴x0=-2,∴y0=-26,k=13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).解法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),则k=,又∵k=f'(x0)=3+1,∴=3+1,解得x0=-2,∴y0=-26,k=13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)∵切线与直线y=-+3垂直,∴切线的斜率k=4.设切点坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3+1=4,∴x0=±1,∴∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4x-18或y=4x-14,即4x-y-18=0或4x-y-14=0.67
