第三节平面向量数量积及平面向量应用举例时间：45分钟分值：100分一、选择题1．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－，故所求夹角为.答案D2．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量AB＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·AC＝2，则n·BC等于()A．－2B．2C．0D．2或－2解析n·BC＝n·(BA＋AC)＝n·BA＋n·AC＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.答案B3．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.B.C．－D．－解析AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，|CD|＝＝5，则|AB|cos〈AB，CD〉＝＝.答案A4．(2015·昆明质检)在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使BD＝2DA，那么CD·CA＝()A．3B．4C．5D．6解析如图，CD＝CB＋BD，又 BD＝2DA，∴CD＝CB＋BA＝CB＋(CA－CB)，即CD＝CA＋CB， ∠C＝，∴CA·CB＝0，∴CD·CA＝·CA＝CA2＋CB·CA＝6，故选D.答案D5．(2014·浙江“六市六校”联盟)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为()A.B.C.D.解析由|a＋b|＝|a－b|两边平方，得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|两边平方，得3a2＋2a·b－b2＝0，故b2＝3a2，则(a＋b)·a＝a2＋a·b＝a2，|a＋b|＝＝2|a|，设向量a＋b与a的夹角为θ，则有cosθ＝＝＝，故θ＝.答案B6．AD，BE分别是△ABC的中线，若|AD|＝|BE|＝1，且AD与BE的夹角为120°，则AB·AC＝()A.B.C.D.解析 |AD|＝|BE|＝1，且AD与BE的夹角为120°，∴AD·BE＝|AD||BE|cos120°＝－.由得∴AB·AC＝(AD－BE)·＝＝＝，选D.答案D二、填空题7．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.解析 a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|·cos45°＝|b|，∴|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.答案38．(2014·湖北卷)若向量OA＝(1，－3)，|OA|＝|OB|，OA·OB＝0，则|AB|＝________.解析 |OA|＝|OB|，OA·OB＝0∴△OAB是以O为顶点的等腰直角三角形，又|OA|＝＝∴|AB|＝|OA|＝2.答案29．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝CD＝1，P是腰DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________．解析建立如图所示的直角坐标系，设P(0，t)，由题意可知，A(2,0)，B(1,1)，PA＝(2，－t)，PB＝(1,1－t)，PA＋3PB＝(5,3－4t)，|PA＋3PB|＝＝.当t＝时，|PA＋3PB|取得最小值5.答案5三、解答题10．如图，平面四边形ABCD中，AB＝13，AC＝10，AD＝5，cos∠DAC＝，AB·AC＝120.(1)求cos∠BAD；(2)设AC＝xAB＋yAD，求x，y的值．解(1)设∠CAB＝α，∠CAD＝β，cosα＝＝＝，cosβ＝，∴sinα＝，sinβ＝.∴cos∠BAD＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.(2)由AC＝xAB＋yAD得∴解得11．已知向量a＝(4,5cosα)，b＝(3，－4tanα)，α∈，a⊥b，求：(1)|a＋b|；(2)cos的值．解(1)因为a⊥b，所以a·b＝4×3＋5cosα×(－4tanα)＝0，解得sinα＝，又因为α∈，所以cosα＝，tanα＝＝，所以a＋b＝(7,1)，因此|a＋b|＝＝5.(2)cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝×－×＝.1．(2014·浙江卷)设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.()A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定解析|b＋ta|2＝(b＋ta)2＝|b|2＋|a|2t2＋2a·bt，令f(t)＝|a|2t2＋2a·bt＋|b|2，由于|b＋ta|的最小值为1，所以函数f(t)的最小值也为1，即＝1.又a，b均为非零向量，且夹角为θ，因此|b|2－|b|2cos2θ＝1，于是|b|2＝，因此当θ确定时，|b|2的值唯一确定，亦即|b|唯一确定．答案B2．(2014·重庆卷)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.解析由题意得|a|＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2××＝10.答案103．(2014·天津卷)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF，若AE·AF＝1，则λ的值为________．解析 四边形ABCD为菱形，且边长为2，∠BAD＝120°，∴BC＝AD，DC＝AB.由题意得AE＝AB＋BE＝AB＋AD，AF＝AD＋DF＝AD＋A...
