2.5等比数列的前n项和第2课时等差、等比数列的综合应用A级基础巩固一、选择题1．数列an＝，其前n项之和为，则项数n为()A．12B．11C．10D．9答案：D2．已知等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为Sn，则数列的前n项和为()A.B．Snqn－1C．Snq1－nD.解析：数列的首项为1，公比为，它的前n项和为Tn＝＝，又Sn＝，所以Tn＝·Sn＝q1－n·Sn.答案：C3．数列{an}的通项公式an＝，则该数列的前________项之和等于9.()A．99B．98C．97D．96解析：an＝＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝9⇒n＋1＝100，所以n＝99.答案：A4．数列，，，…，，…的前n项和为()A.B.C.D.解析：因为＝，得前n项和Sn＝(－＋－＋－＋…＋－)＝＝.答案：B5．已知数列{an}的前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是()A．13B．－76C．46D．76解析：S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，S22＝－4×11＝－44，S31＝－4×15＋a31＝－4×15＋121＝61，S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.答案：B二、填空题6．求和：1＋3＋5＋…＋＝______________．解析：Sn＋1＝[1＋3＋…＋(2n＋1)]＋＝n2＋2n＋2－.答案：n2＋2n＋2－7．已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n2＋3)－2，那么log23是这个数列的第________项．解析：令an＝log23⇒log2(n2＋3)－2＝log23⇒n2＋3＝12，所以n2＝9，n＝3.答案：318．下列命题中正确命题为________(填序号)．①常数列一定是等比数列；②等比数列前n项和Sn＝(其中a1为首项，q为公比)；③前n项和Sn为n的二次函数的数列一定是等差数列；④0不可能是任何等比数列的一项．答案：④三、解答题9．已知数列{an}的通项公式an＝lg，试问：该数列的前多少项之和最大？求出这个最大的和(lg2取0.3)．解：由题设知：an＋1－an＝lg－lg＝lgsin＝－lg2，所以数列{an}是等差数列，a1＝2，an＝2－(n－1)lg2，当an＝2－(n－1)lg2＜0时可解得n＞14.3，即n≥15时，an＜0.所以当n＝14时，S14最大且S14＝28－lg2≈14.35.10．已知数列{an}的通项公式为an＝求Sn.解：①当n为奇数时，Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋(42＋44＋…＋4n－1)＝·＋＝＋＝＋.②当n为偶数时，Sn＝[1＋13＋…＋(6n－11)]＋(42＋44＋…＋4n－1＋4n)＝＋.B级能力提升1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析：因为an＋1＝an＋ln，所以an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－lnn.又a1＝2，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln2－ln1＋ln3－ln2＋ln4－ln3＋…＋lnn－ln(n－1)]＝2＋lnn－ln1＝2＋lnn.答案：A2．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________．解析：因为{an}为等比数列，且a1＝，a4＝－4，所以q3＝＝－8，所以q＝－2，所以an＝(－2)n－1，所以|an|＝2n－2，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝＝.答案：3．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.2解：(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n·22n－1，①从而22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n·22n＋1.②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．3
