第41讲数列的综合问题1．(2017·长春市高三质量监测(二))已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－1(n∈N*)．(1)若数列{bn}满足bn＝an－，求证：{bn}是等比数列；(2)若数列{cn}满足cn＝log3an，Tn＝c1＋c2＋…＋cn，求证Tn>
(1)由已知得an＋1－＝3(an－)(n∈N*)，从而有bn＋1＝3bn，又b1＝a1－＝1，所以数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得bn＝3n－1，从而an＝3n－1＋，cn＝log3(3n－1＋)>log33n－1＝n－1，所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn>0＋1＋2＋…＋n－1＝，所以Tn>
2．(2016·四川卷)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*
(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>
(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1
又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立，所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．从而an＝qn－1
由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得2a3＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0
由已知，q>0，故q＝2
所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1，所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝
由e2＝＝解得q＝
因为1＋q2(k－1)＞q2(k－1)，所以＞qk－1(k∈N*)．于是e1＋e2＋…＋en＞1＋q＋…＋qn－1＝，故e1＋e2＋…＋en＞
3．(2018·浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1，且
