高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入教师用书 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)平行四边形法则减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λλ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa．[小题体验]1．下列四个命题中，正确的命题是()A．若a∥b，则a＝bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若|a|＝|b|，则a∥bD．若a＝b，则|a|＝|b|答案：D2．(教材习题改编)化简：(1)(AB＋MB)＋BO＋OM＝________．(2)NQ＋QP＋MN－MP＝________．答案：(1)AB(2)03．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．答案：－1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[小题纠偏]1．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________．解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2．答案：22．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件．解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q．若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ>0，故q⇒/p．∴p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要[题组练透]1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0．假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．2．(易错题)给出下列命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c．其中正确命题的序号是________．解析：①正确． a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．②正确． AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC．③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②．答案：①②[谨记通法]向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反．(3)单位向量：长度是一个单位长度．(4)零向量：方向没有限制，长度是0．(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第2题易混淆有关概念．[题组练透]1．(2017·武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于()A．OMB．2OMC．3OMD．4OM解析：选D因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2O...