考点测试24解三角形的应用一、基础小题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案B解析根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．2．在△ABC中，若A，B，C成等差数列，且AC＝，BC＝2，则A＝()A．135°B．45°C．30°D．45°或135°答案B解析因为A，B，C成等差数列，所以B＝60°．由正弦定理，得＝，则sinA＝．又BC＜AC，所以A＜B，故A＝45°．故选B．3．海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC＝135°，AB＝6，AC＝3，若在B，C两岛的连线段之间建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛距离相等，则B，D间的距离为()A．3B．C．D．3答案B解析由题意可知，D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，设BD＝t．由余弦定理可得BC2＝62＋(3)2－2×6×3cos∠BAC＝90，解得BC＝3．由cos∠ABC＝＝，解得t＝．故选B．4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A．海里/小时B．34海里/小时C．海里/小时D．34海里/小时答案A解析如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34．∴v＝＝(海里/小时)．故选A．5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若＝＝，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个角为30°的直角三角形D．有一个角为30°的等腰三角形答案B解析由正弦定理，得＝＝，又＝＝，两式相除，得1＝tanB＝tanC，所以B＝C＝45°．所以A＝90°，故△ABC为等腰直角三角形．故选B．6．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方法：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A．①②B．②③C．①③D．①②③答案D解析由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB．故选D．7．一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶80海里至M处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处，再沿南偏东30°方向行驶30海里至B岛，则A，B两岛之间的距离是________海里．答案70解析依题意画出图形，连接AN，则在△AMN中，应用余弦定理可得AN2＝502＋802－2×50×80×cos60°，即AN＝70．应用余弦定理可得cos∠ANM＝＝，所以sin∠ANM＝．在△ANB中，应用余弦定理可得AB2＝(30)2＋702－2×30×70×cos∠ANB，而cos∠ANB＝cos(150°－∠ANM)＝cos150°cos∠ANM＋sin150°·sin∠ANM＝，所以AB＝＝70．8．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10m，则旗杆的高是________m．答案10(3－)解析由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝，所以AD＝＝，因此CD＝ADsin60°＝×sin60°＝10(3－)．二、高考小题9．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A．B．C．－D．－答案C解析解法一：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos∠BAC＝＝＝－．故选C．解法二：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，在Rt△ADC中AC＝BC，sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，又因为∠B＝，所以cos∠BAC＝cos＝cos∠DAC·cos－sin∠DAC·sin＝×－×＝－．故选C．10．(2018·北京高考)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析依题意有acsinB＝(a2＋c2－b2)＝×2accosB，则tanB＝， 0<∠B<π，∴∠B＝．＝＝＝＋＝＋·， ∠C为钝角，∴－∠A>，又∠A>0，∴0<∠A<，则0，故>＋×＝2．故的取值范围为(2，＋∞)．11．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．答案9解析解法一：依题意画出图形，如图所示．易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，即csin60°＋asin60°＝...
