高考数学大一轮复习 5.3平面向量的数量积试题 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第3讲平面向量的数量积一、填空题1．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析 a＋b与ka－b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，化简得(k－1)(a·b＋1)＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.答案12．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．解析设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝，因为0≤θ≤π，所以θ＝.答案3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.解析|a－b|＝＝＝＝.答案4．设E、F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则AE·AF＝________.解析由BE＝2EC，得AE－AB＝2(AC－AE)，所以AE＝AB＋AC.同理AF＝AB＋AC，又AB⊥AC，所以AE·AF＝·＝AB2＋AC2＝×9＋×36＝10.答案105．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则a＋b与a－b的夹角为________．解析将|a＋b|＝|a－b|两边同时平方得：a·b＝0；将|a－b|＝|a|两边同时平方得：b2＝a2.所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝.所以〈a＋b，a－b〉＝60°.答案60°6．已知O是△ABC的内部一点，OA＋OB＋OC＝0，AB·AC＝2，且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________．解析由AB·AC＝|AB||AC|cos60°＝2，得|AB||AC|＝4，S△ABC＝|AB||AC|sin60°＝，由OA＋OB＋OC＝0知，O是△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝.答案7．若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA·MB＝________.解析建立直角坐标，由题意，设C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，则M，MA·MB＝·＝－2.答案－28．已知向量p的模为，向量q的模为1，p与q的夹角为，且a＝3p＋2q，b＝p－q，则以a，b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________．解析由题意可知较小的对角线为|a－b|＝|3p＋2q－p＋q|＝|2p＋3q|＝＝＝＝.答案9．已知平面向量a、b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为________．解析 |2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝，∴4＋4a·b＋3＝7，a·b＝0，∴a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA， tan∠COA＝＝，∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为.答案10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则BA·AC＝________.解析依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB>0，于是有cosA＝，sinA＝＝，又S△ABC＝·bcsinA＝bc×＝，所以bc＝3，BA·AC＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1.答案－1二、解答题11．已知平面向量a＝(，－1)，b＝.(1)若存在实数k和t，满足x＝(t＋2)a＋(t2－t－5)b，y＝－ka＋4b，且x⊥y，求出k关于t的关系式k＝f(t)；(2)根据(1)的结论，试求出函数k＝f(t)在t∈(－2,2)上的最小值．解(1)a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1，所以x·y＝－(t＋2)·k·a2＋4(t2－t－5)·b2＝0，故－(t＋2)·k·4＋4(t2－t－5)·1＝0，整理得k＝f(t)＝(t≠－2)．(2)k＝f(t)＝＝t＋2＋－5，因为t∈(－2,2)，所以t＋2>0，则k＝t＋2＋－5≥－3，当且仅当t＋2＝1，即t＝－1时取等号，所以k的最小值为－3.12.如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝6，BC＝7，AD是∠BAC的平分线．(1)求证：DC＝2BD；(2)求AB·DC的值．(1)证明在△ABD中，由正弦定理得＝.①在△ACD中，由正弦定理得＝.②又AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，sin∠BAD＝sin∠CAD，又sin∠ADB＝sin(π－∠ADC)＝sin∠ADC，由①②得＝＝，所以DC＝2BD.(2)解因为DC＝2BD，所以DC＝BC.在△ABC中，因为cosB＝＝＝.所以AB·DC＝AB·＝|AB||BC|cos(π－B)＝×3×7×＝－.13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．解(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t,5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝...