3.1.1空间向量及其加减运算基础练习1．下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．a＋b与b＋a不一定相等D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC【答案】B【解析】|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；空间向量加法满足交换律，故a＋b＝b＋a恒成立；一般的四边形不具有AB＋AD＝AC，只有平行四边形才能成立．故选项A，C，D均不正确．2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO＋OB＝DO＋OC，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．空间四边形C．等腰梯形D．矩形【答案】A【解析】∵AO＋OB＝DO＋OC，∴AB＝DC.∴AB∥DC且|AB|＝|DC|.∴四边形ABCD为平行四边形．3．空间任意四个点A，B，C，D，则DA＋CD－CB等于()A．DBB．ACC．ABD．BA【答案】D【解析】DA＋CD－CB＝DA＋BD＝BA.4．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则用向量a，b，c表示向量BD1正确的是()A．a＋b＋cB．b－a＋cC．a＋b－cD．－a＋b－c【答案】B【解析】BD1＝BD＋DD1＝AD－AB＋AA1＝b－a＋c.故选B．5．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则向量AC1的模长为________．【答案】【解析】AC1为正方体的对角线，其长为，所以向量AC1的模长为.6．三棱柱ABCA1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B可用a，b，c表示为A1B＝________.【答案】－a＋b－c【解析】如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，且CA＝a，CB＝b，CC1＝c，所以A1B＝A1A＋AC＋CB＝C1C－CA＋CB＝－CA＋CB－CC1＝－a＋b－c.17．在四面体ABCD中，设AB＝b，AC＝c，AD＝d，用b,c，d表示BD，BC，CD.解：BD＝BA＋AD＝d－b，BC＝BA＋AC＝c－b，CD＝CA＋AD＝d－c.8．已知四面体ABCD中，G为△BCD的重心．E，F，H分别为棱CD，AD和BC的中点，化简下列各式：(1)AG＋BE＋CA；(2)(AB＋AC－AD)．解：(1)如图所示，由G是△BCD的重心知GE＝BE.又E，F分别为CD，AF的中点，∴EF∥AC且EF＝AC，则CA＝EF.∴AG＋BE＋CA＝AG＋GE＋EF＝AF.(2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义知(AB＋AC)＝AH，AD＝AF.∴(AB＋AC－AD)＝AH－AF＝FH.能力提升9．若A，B，C，D为空间四个不同的点，则下列各式结果为零向量的是()①AB＋2BC＋2CD＋DC；②2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC；③AB＋CA＋BD；④AB－CB＋CD－AD.A．①②B．②③C．②④D．①④【答案】C【解析】AB＋2BC＋2CD＋DC＝AB＋2BD＋DC＝AC＋BD；2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC＝2AC＋3CA＋AC＝0；AB＋CA＋BD＝CD；AB－CB＋CD－AD＝AC＋CA＝0.故②④正确．10．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则()A．EF＋GH＋PQ＝0B．EF－GH－PQ＝0C．EF＋GH－PQ＝0D．EF－GH＋PQ＝0【答案】A【解析】EF＋GH＋PQ＝AF－AE＋CH－CG＋D1Q－D1P＝0.故选A．11．给出下列几个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a≠b的充要条件是a与b不同向且|a|≠|b|.其中正确命题的序号是________．【答案】②③【解析】①④均不正确．在④中，a≠b的充要条件是a与b不同向或|a|≠|b|.12．如图，在四棱柱A′B′C′D′ABCD中，求证：AB＋BC＋CA′＝DD′.2证明：如图，作向量AA′，AC.AB＋BC＝AC，AC＋CA′＝AA′，∴AB＋BC＋CA′＝AC＋CA′＝AA′.在四棱柱A′B′C′D′ABCD中，AA′＝DD′，∴AB＋BC＋CA′＝DD′.3
