向量的数量积（2）1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为。3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于4．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为5．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．6．已知|a|＝6，a与b的夹角为，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72.则|b|＝________.7．在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M满足＝2，则·＝________.8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.9．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.10．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．答案1.解析：∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7，∴a·b＝－，cosθ＝＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝.答案：θ＝.2.解析：∵c·d＝0，∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，∴2k＝12，∴k＝6.答案：63.解析：∵AM＝1，且＝2，∴||＝.如图，·(＋)＝·2＝·＝＝()2＝.答案：4．解析：∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，∴a与c的夹角为60°.又|a－c|＝＝＝故|a－c|min＝.答案：5.解析：＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，于是|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，即·＝0，从而AB⊥AC.答案：直角三角形6.解析：由已知，a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|cos－6|b|2＝－72，即2|b|2＋|b|－36＝0.∴(2|b|＋9)(|b|－4)＝0.∵|b|≥0，∴|b|＝4.答案：47.解析：∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，又C＝90°，·＝0，∴·＝(＋)·＝＝3.答案：38.解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，∴|a＋2b|＝，|a－2b|＝.∴cos120°＝＝＝＝－.∴＝.∴＝.答案：9.解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝，|a|＝1，∴b2＝a2－＝1－＝，∴|b|＝.∴cosθ＝＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.(2)|a＋b|＝＝＝.10.解：假设存在满足条件的θ，∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)．∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0.∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴解得cosθ∈[，1]．又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.故当θ∈时，|a＋b|＝|a－b|成立．
