高二数学理寒假专题——圆锥曲线综合题型及处理方北师大版【本讲教育信息】一.教学内容：专题三：圆锥曲线综合题型及处理方法二.教学目标（1）正确理解圆锥曲线的定义及其应用。掌握圆锥曲线的各种标准方程；能根据条件，求圆锥曲线的标准方程；（2）掌握圆锥曲线的几何性质及圆锥曲线参数方程并利用它们解决简单问题。（3）掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定方法.能解决直线与圆锥曲线相交时弦长、定值及参数范围、离心率范围等问题。三.教学重、难点1.求圆锥曲线方程一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）。定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。2.求轨迹方程（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即为动点轨迹方程。（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求。（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程。（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程。求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性。要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念。3.直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们所对应的方程构成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法。（2）当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。【典型例题】考点一：求圆锥曲线方程问题例1.如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2用心爱心专心为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程。解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系。设双曲线方程为=1（a＞0，b＞0）由e2=，得。∴两渐近线OP1、OP2的方程分别为y=x和y=－x设点P1（x1，x1），P2（x2，－x2）（x1＞0，x2＞0）则由点P分所成的比λ==2得P点坐标为（）又点P在双曲线=1上所以=1，即（x1+2x2）2－（x1－2x2）2=9a2，整理得8x1x2=9a2①即x1x2=②由①、②得a2=4，b2=9故所求双曲线方程为=1。用心爱心专心考点二：求轨迹方程问题例2.如图，已知为平面上的两个定点，为动点，，且，（是和的交点）（1）建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；（2）若点的轨迹上存在两个不同的点，且线段的中垂线与（或的延长线）相交于一点，证明：（为的中点）解：（1）如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系。由题设，而点是以为焦点、长轴长为的椭圆故点的轨迹方程为（2）如图2，设，，且，即又在P点的轨迹上，即代入整理得：用心爱心专心 ， ≤≤，≤≤，≤≤ ，，即。考点三：直线与圆锥曲线位置关系问题例3.已知双曲线C：2x2－y2=2与点P（1，2）（1）求过P（1，2）点的直线l的斜率k的取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点。（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在。解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点。当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k（x－1）代入C的方程，并整理得（2－k2）x2+2（k2－2k）x－k2+4k－6=0（*）（ⅰ）当2－k2=0，即k=±时，方程（*）有一个根，l与C有一个交点（ⅱ）当2－k2≠0，即k≠±时△=［2（k2－2k）］2－4（2－k2）（－k2+4k－6）=16（3－2k）①当Δ=0，即3－2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点。②当Δ＞0，即k＜，又k≠±，故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程（*）有两不等实根，l与C有两个交点。③当Δ＜0，即k＞时，方程（*）无解，l...
