第三章导数及其应用考点集训(十四)第14讲导数的概念及运算1．函数y＝x2sinx的导数为A．y′＝2xcosx＋x2sinxB．y′＝2xcosx－x2sinxC．y′＝2xsinx＋x2cosxD．y′＝2xsinx－x2cosx2．设函数y＝f(x)的图像如图，则导函数y＝f′(x)的图像可能是下图中的3．已知f′是函数f的导数，f＝f′·2x＋x2，f′＝A.B.C.D．－24．若曲线y＝x2与曲线y＝alnx在它们的公共点P处具有公共切线，则实数a＝A．－2B.C．1D．25．函数f(x)＝2lnx＋x2－bx＋a(b>0，a∈R)在点(b，f(b))处的切线斜率的最小值是________．6．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y＝f′(x)的图象如下图所示，若两个正数a，b满足f(2a＋b)<1，则的取值范围是__________________．7．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)求a、b的值；(2)求过点A(0，16)且与曲线y＝f(x)相切的切线方程．8．设函数f(x)＝ex(lnx－a)，e是自然对数的底数，e≈2.718…，a∈R为常数．(1)若y＝f(x)在x＝1处的切线l的斜率为2e，求a的值；(2)在(1)的条件下，证明：切线l与曲线y＝f(x)在区间至少有1个公共点．9．已知函数f(x)＝.(1)求函数f(x)的图像在x＝处的切线方程；(2)求f(x)的最大值；(3)设实数a>0，求函数F(x)＝af(x)在[a，2a]上的最小值．第14讲导数的概念及运算【考点集训】1．C2.D3.C4.C5.26.7．【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即，解得a＝1，b＝0.(2)曲线方程为y＝x3－3x，点A(0，16)不在曲线上．设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0.因f′(x0)＝3(x－1)，故切线的方程为y－y0＝3(x－1)(x－x0)，注意到点A(0，16)在切线上，有16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)，化简得：x＝－8，解得x0＝－2.所以，切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0.8．【解析】(1)f′(x)＝ex，依题意，k＝f′(1)＝e1＝2e，解得a＝－1.(2)由(1)f(1)＝e，直线l的方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.设g(x)＝f(x)－(2ex－e)＝ex(lnx＋1)－2ex＋e，则g＝(1－ln2)>0，g(e－4)＝－3ee－4－2e－3＋e<－3＋e<0，因为y＝g(x)在上是连续不断的曲线，g(e－4)g<0，y＝g(x)在内有零点，⊂，从而切线l与曲线y＝f(x)在区间至少有1个公共点．9．【解析】(1)∵f(x)定义域为，∴f′(x)＝，∵f＝－e，又∵k＝f′＝2e2，∴函数y＝f(x)在x＝处的切线方程为：y＋e＝2e2，即y＝2e2x－3e.(2)令f′(x)＝0得x＝e，∵当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)在(0，e)上为增函数，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(e，＋∞)上为减函数，∴fmax(x)＝f(e)＝.(3)∵a>0，由(2)知：F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．∴F(x)在上的最小值fmin(x)＝min{F(a)，F(2a)}，∵F(a)－F(2a)＝ln，∴当0
0，fmin(x)＝F(2a)＝ln2a.
