第4节数列求和及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号公式法、并项法、分组求和法1,2,3,11,13裂项相消法求和5,8,15错位相减法求和12,14数列的综合应用4,6,7,9,10基础巩固(时间:30分钟)1.已知数列{an}的通项公式是an=2n-3()n,则其前20项和为(C)(A)380-(1-)(B)400-(1-)(C)420-(1-)(D)440-(1-)解析:设数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+…+a20=2(1+2+…+20)-3(++…+)=2×-3×=420-(1-).故选C.2.数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100等于(B)(A)200(B)-200(C)400(D)-400解析:S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]+[-3-(-3)-3+…-(-3)]=4×(-50)=-200.故选B.3.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(A)(A)-24(B)-3(C)3(D)8解析:由a2,a3,a6成等比数列且a1=1得(1+2d)2=(1+d)(1+5d).因为d≠0,所以d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24.故选A.4.(2017·安阳一模)已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则数列{log2an}的前10项和等于(C)1(A)1023(B)55(C)45(D)35解析:数列{an}的前n项和Sn=2n-1,可得a1=S1=2-1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,对n=1也成立.所以an=2n-1(n∈N*)log2an=log22n-1=n-1,则数列{log2an}的前10项和等于0+1+2+…+9=×(1+9)×9=45.故选C.5.(2017·湖南模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2(n∈N*),记数列{}的前n项和为Tn,则T2017等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时适合上式,所以an=2n-1.(n∈N*).所以==(-),数列{}的前n项和为Tn=(1-+-+…+-)=(1-).则T2017=(1-)=.故选B.6.(2016·湖北三校联考)已知等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时,a4=1,则数列lga1,2lga2,22lga3,23lga4,…,2n-1lgan,…的前n项和Sn等于(C)(A)n·2n(B)(n-1)·2n-1-1(C)(n-1)·2n+1(D)2n+1解析:因为等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时,a4a2n-4=102n,所以=102n,即an=10n,所以2n-1lgan=2n-1lg10n=n·2n-1,所以Sn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①2Sn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,②所以①-②得-Sn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=(1-n)·2n-1,所以Sn=(n-1)·2n+1.选C.7.(2017·郴州二模)已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a,则++…+等于(D)(A)(2n-1)2(B)(2n-1)(C)4n-1(D)(4n-1)解析:因为Sn=2n-a,所以a1=2-a,a1+a2=4-a,a1+a2+a3=8-a,解得a1=2-a,a2=2,a3=4,因为数列{an}是等比数列,所以22=4(2-a),解得a=1.2所以公比q=2,an=2n-1,=22n-2=4n-1.则++…+==(4n-1).故选D.8.(2016·广东汕尾调研)已知数列{an}为等比数列,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足bn=(n+1)log3an,则{}的前n项和Sn=.解析:由题知an=3n,所以bn=n(n+1),=-,所以Sn=(1-)+(-)+…+(-)=1-=.答案:9.(2017·合肥二模)等比数列{an}满足an>0,且a2a8=4,则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=.解析:根据题意,等比数列{an}的各项都是正数,a1·a9=a2·a8=a3·a7=a4·a6==4,则a5=2,则log2a1+log2a2+…+log2a9=log2(a1·a2·…·a9)=log2(29)=9,答案:9能力提升(时间:15分钟)10.已知数列{an}满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+…+|a6|等于(C)(A)9(B)15(C)18(D)30解析:因为an+1-an=2,a1=-5,所以数列{an}是公差为2的等差数列.所以an=-5+2(n-1)=2n-7.数列{an}的前n项和Sn==n2-6n.令an=2n-7≥0,解得n≥.所以n≤3时,|an|=-an.n≥4时,|an|=an.则|a1|+|a2|+…+|a6|=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=62-6×6-2(32-6×3)=18.故选C.11.(2017·安徽宿州一模)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=2,an+2+(-1)n-1an=1,则S40等于(C)(A)260(B)250(C)240(D)230解析:由an+2+(-1)n-1an=1,当n为奇数时,有an+2+an=1,3当n为偶数时,an+2-an=1,所以数列{an}的偶数项构成以2为首项,以1为公差的等差数列,则S40=(a1+a3+a5+a7+…+a39)+(a2+a4+…+a40)=10×1+20×2+×1=240.故选C.12.(2017·淮北二模)已知数列{bn}是等比数列,bn=,a1=1,a3=3,cn=(an+1)·bn,那么数列{cn}的前n项和Sn=.解析:设等比数列{bn}的公比为q,由题意得===q,即an+1-an=log2q.所以{an}为等差数列,又d==1,a1=1.所以an=1+n-1=n,bn=2n-1.所以cn=(an+1)·bn=(n+1)·2n-1.所以...
