第二节参数方程A组基础题组1.已知曲线C的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C'.(1)求曲线C'的普通方程;(2)已知点A在曲线C'上,点D(1,3),当点A在曲线C'上运动时,求AD的中点P的轨迹方程.2.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.3.(2017吉林长春质量检测(三))已知在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ2(3+sin2θ)=12,曲线C2的参数方程为(t为参数),α∈.(1)求曲线C1的直角坐标方程,并判断该曲线是什么曲线;(2)设曲线C2与曲线C1的交点为A、B,P(1,0),当|PA|+|PB|=时,求cosα的值.4.(2017湖南湘中名校联考)已知直线l:(t为参数),曲线C1:(θ为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.B组提升题组1.在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.2.(2017陕西西安八校联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈[0,2π).(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)在曲线C上求一点D,使它到直线l:(t为参数)的距离最短,并求出点D的直角坐标.3.(2017四川成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-4sinθ=0.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)已知点P(1,0).若点M的极坐标为,直线l经过点M且与曲线C相交于A,B两点,设线段AB的中点为Q,求|PQ|的值.4.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),曲线C的参数方程为(1)写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程;(2)过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A,B两点,若|MA|·|MB|=,求点M的轨迹.答案精解精析A组基础题组1.解析(1)将代入得曲线C'的参数方程,即∴曲线C'的普通方程为+y2=1.(2)设点P(x,y),A(x0,y0), D(1,3),且AD的中点为P,∴∴又点A在曲线C'上,∴代入C'的普通方程+y2=1,得(2x-1)2+4(2y-3)2=4,∴动点P的轨迹方程为(2x-1)2+4(2y-3)2=4.2.解析(1)由ρ=4cosθ,得(x-2)2+y2=4.(2)将代入圆的方程得(tcosα-1)2+(tsinα)2=4,化简得t2-2tcosα-3=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则∴|AB|=|t1-t2|===,∴4cos2α=2,cosα=±,α=或.3.解析(1)由ρ2(3+sin2θ)=12及x=ρcosθ,y=ρsinθ可得+=1,该曲线为椭圆.(2)将(t为参数)代入+=1得t2(4-cos2α)+6tcosα-9=0,设A、B对应的参数分别为t1、t2,则t1+t2=,t1t2=,所以|PA|+|PB|=|t1-t2|===,从而cos2α=,由于α∈,所以cosα=.4.解析(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1.联立得方程组解得l与C1的交点为A(1,0),B,则|AB|=1.(2)C2的参数方程为(θ为参数),故点P的坐标是,从而点P到直线l的距离d==,当sin=-1时,d取得最小值,且最小值为(-1).B组提升题组1.解析(1)由曲线C的极坐标方程ρ=,得ρ2sin2θ=2ρcosθ,所以曲线C的直角坐标方程是y2=2x.由直线l的参数方程得其普通方程为x-y-4=0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2x,得t2-8t+7=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=8,t1t2=7,所以|AB|=|t1-t2|=×=×=6,因为原点到直线x-y-4=0的距离d==2,所以△AOB的面积是|AB|·d=×6×2=12.2.解析(1)由ρ=2sinθ,θ∈[0,2π),可得ρ2=2ρsinθ.因为ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0或x2+(y-1)2=1.(2)因为直线l的参数方程为(t为参数),消去t得直线l的普通方程为y=-x+5.因为曲线C:x2+(y-1)2=1是以G(0,1)...
