第五节正弦定理和余弦定理限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1．(2018·广东广州调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cosB＝，则△ABC的面积为()A．3B．C．9D．解析：选B.由余弦定理b2＝c2＋a2－2accosB，得7＝16＋a2－6a，解得a＝3， cosB＝，∴sinB＝，∴S△ABC＝casinB＝×4×3×＝.故选B.2．(2018·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sinA∶sinB＝1∶，c＝2cosC＝，则△ABC的周长为()A．3＋3B．2C．3＋2D．3＋解析：选C.因为sinA∶sinB＝1∶，所以b＝a，由余弦定理得cosC＝＝＝，又c＝，所以a＝，b＝3，所以△ABC的周长为3＋2，故选C.3．(2018·成都外国语学校二模)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.B．C.D．解析：选C.由正弦定理及sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cosA＝≥＝，又0＜A＜π，所以0＜A≤.故A的取值范围是.故选C.4．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A解析：选A.因为A＋B＋C＝π，sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sin(A＋C)＋2sinBcosC＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以2sinBcosC＝sinAcosC.又cosC≠0，所以2sinB＝sinA，所以2b＝a，故选A.5．(2018·东北三校联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于()A.B．C.D．解析：选C.根据正弦定理＝＝＝2R，得＝＝，即a2＋c2－b2＝ac，得cosB＝＝，又0＜B＜π，所以B＝，故选C.6．(2018·长沙模拟)在△ABC中，A＝，b2sinC＝4sinB，则△ABC的面积为________．解析：因为b2sinC＝4sinB，所以b2c＝4b，即bc＝4，故S△ABC＝bcsinA＝×4×＝2.答案：27．(2018·山西大同联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcosA＋acosB)＝c2，b＝3，3cosA＝1，则a的值为________．解析：由正弦定理可得2(sinBcosA＋sinAcosB)＝csinC， 2(sinBcosA＋sinAcosB)＝2sin(A＋B)＝2sinC，∴2sinC＝csinC， sinC＞0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋32－2×2×3×＝9，∴a＝3.答案：38．(2018·辽宁沈阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则cos2A＝________．解析：由三角形的面积公式，得S△ABC＝acsinB＝×a×5×sin＝××5a＝，解得a＝3.由b2＝a2＋c2－2accosB＝32＋52－2×3×5×＝49，得b＝7.由＝⇒sinA＝sinB＝sin＝，∴cos2A＝1－2sin2A＝1－2×＝.答案：9．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：(1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.由正弦定理得sinCsinB＝.故sinBsinC＝.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题设得bcsinA＝，a＝3，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，由bc＝8，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.(1)证明：sinAsinB＝sinC.(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tanB．解：(1)证明：由正弦定理＝＝，可知原式可以化简为＋＝＝1，因为A和B为三角形的内角，所以sinAsinB≠0，则两边同时乘以sinAsinB，可得sinBcosA＋sinAcosB＝sinAsinB，由和角公式可知，sinBcosA＋sinAcosB＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，∴sinC＝sinAsinB，故原式得证．(2)由b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理可知，cosA＝＝.因为A为三角形内角，A∈(0，π)，sinA＞0，则sinA＝＝，即＝，由(1)可知＋＝＝1，所以＝＝1－＝1－＝，所以tanB＝4.B级能力提升练11．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A.B．C．－D．－解析：选C.如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos∠BAC＝＝＝－，故选C.12．(2018·六安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若...
