压轴题提分练(三)1．(2018·合肥模拟)已知椭圆E：＋＝1，点A、B、C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且CO＝2OD.(1)若点C的坐标为，求直线AB的方程；(2)求证：△ABC面积为定值．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，∵CO＝2OD，∴D，将A，B代入椭圆方程中，可得化简可得＋＝0，∴kAB＝＝－＝－×＝－，∴直线lAB的方程为x＋2y＋2＝0.(2)证明：设C(m，n)，∴D，①当直线AB的斜率不存在时，n＝0，由题意可得C(2，0)，A，B或C(－2,0)，A，B，此时S△ABC＝×3×3＝；②当直线AB的斜率存在时，n≠0，由(1)kAB＝－·＝－，∴AB：y＋＝－(x＋)，即直线AB：y＝－x－＝－x－，即3mx＋4ny＋6＝0，⇒3x2＋3mx＋3－4n2＝0，∴x1＋x2＝－m，x1x2＝1－，∵CO＝2OD，|AB|＝＝＝，O到AB的距离d＝，S△ABC＝3S△OAB＝3×××＝.∴S△ABC为定值．2．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象在点(1，f(1))处的切线方程为6x－2y－1＝0，f′(x)为f(x)的导函数，g(x)＝aex(a，b，c∈R，e为自然对数的底数)．(1)求b，c的值；(2)若∃x0∈(0,2]，使g(x0)＝f′(x0)成立，求a的取值范围．解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴f′(1)＝2b＋c＋3＝3.又f(1)＝b＋c＋1，点(1，f(1))在直线6x－2y－1＝0上，∴6－2(b＋c＋1)－1＝0，故b＝－，c＝3.(2)∵g(x0)＝f′(x0)，∴aex0＝3x－3x0＋3，∴a＝.令h(x)＝，则h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝2.当x变化时，h(x)与h′(x)在x∈(0,2]上的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,2)2h′(x)－0＋0h(x)∴h(x)在x∈(0,2]上有极小值h(1)＝，又h(2)＝，h(0)＝3>，∴h(x)在x∈(0,2]上的取值范围为[，3)，∴a的取值范围为[，3)．
