高考数学一轮复习 第12章 选考部分 4-5 第3讲 柯西不等式分层演练 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

4-5第3讲柯西不等式1．设x，y，z∈R，2x－y－2z＝6，试求x2＋y2＋z2的最小值．解：考虑以下两组向量u＝(2，－1，－2)，v＝(x，y，z)，根据柯西不等式(u·v)2≤|u|2·|v|2，得[2x＋(－1)y＋(－2)z]2≤[22＋(－1)2＋(－2)2](x2＋y2＋z2)，即(2x－y－2z)2≤9(x2＋y2＋z2)，将2x－y－2z＝6代入其中，得36≤9(x2＋y2＋z2)，即x2＋y2＋z2≥4，故x2＋y2＋z2的最小值为4．2．设x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝25，试求x－2y＋2z的最大值与最小值．解：根据柯西不等式，有(1·x－2·y＋2·z)2≤[12＋(－2)2＋22](x2＋y2＋z2)，即(x－2y＋2z)2≤9×25，所以－15≤x－2y＋2z≤15，故x－2y＋2z的最大值为15，最小值为－15．3．已知大于1的正数x，y，z满足x＋y＋z＝3．求证：＋＋≥．证明：由柯西不等式及题意得，·[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27．又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)＝6(x＋y＋z)＝18，所以＋＋≥＝，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．4．(2018·湘中名校联考)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求＋的最大值．解：(1)由|x＋a|＜b，可得－b－a＜x＜b－a，所以－b－a＝2且b－a＝4．解得a＝－3，b＝1．(2)利用柯西不等式，可得＋＝(＋)≤＝×＝2，当且仅当＝，即t＝2时等号成立．当t＝2时，＋的最大值为2．5．设函数f(x)＝|x－4|＋|x－3|，f(x)的最小值为m．(1)求m的值；(2)当a＋2b＋3c＝m(a，b，c∈R)时，求a2＋b2＋c2的最小值．解：(1)法一：f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1．法二：f(x)＝当x≥4时，f(x)≥1；当x<3时，f(x)>1；当3≤x<4时，f(x)＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1．(2)(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)≥(a＋2b＋3c)2＝1，故a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝，b＝，c＝时取等号．故a2＋b2＋c2的最小值为．6．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝3．1求证：＋＋≥3．证明：因为a，b，c∈R＋，由柯西不等式得≥即(a＋b＋c)≥(b＋c＋a)2所以＋＋≥a＋b＋c＝3．即＋＋≥3．1．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－5|，g(x)＝．(1)求f(x)的最小值；(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b满足a2＋b2＝6，求证：g(a)＋g(b)≤m．解：(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－5|，所以f(x)＝|x－1|＋|x－5|＝，所以f(x)min＝4．(2)证明：由(1)知m＝4．由柯西不等式得[1×g(a)＋1×g(b)]2≤(12＋12)[g2(a)＋g2(b)]，即[g(a)＋g(b)]2≤2(a2＋b2＋2)，又g(x)＝>0，a2＋b2＝6，所以g(a)＋g(b)≤4(当且仅当a＝b＝时取等号)．即g(a)＋g(b)≤m．2．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4．(1)求a＋b＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值．解：(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c，又f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4．(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得×(4＋9＋1)≥＝(a＋b＋c)2＝16，故a2＋b2＋c2≥．当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．故a2＋b2＋c2的最小值为．2