第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切一、填空题1．已知tan＝，则tanα＝________.解析tanα＝tan＝＝＝－.答案－2．已知cosα＝－，且α∈，则tan＝________.解析由条件得sinα＝，所以tanα＝－，tan＝＝.答案3．已知α，β∈，且tanα＝4，cos(α＋β)＝－，则角β度数为________．解析由α，β∈，tanα＝4，cos(α＋β)＝－，得sinα＝，cosα＝，sin(α＋β)＝＝，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.所以β＝.答案4．若sinα＝，α∈，则cos＝________.解析因为α∈，sinα＝，所以cosα＝，所以cos＝－(cosα－sinα)＝－.答案－5．已知向量a＝，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin＝________.解析a·b＝4sin＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4sin－＝0，所以sin＝.所以sin＝－sin＝－.答案－6．函数f(x)＝sin2xsin－cos2xcos在上的单调递增区间为________．解析f(x)＝cos，当x∈时，2x－∈，于是由2x－∈[－π，0]，得f(x)在上的单调增区间为.答案7．已知tanα＝，tanβ＝，且α，β∈(0，π)，则α＋2β＝________.解析tan2β＝＝＝，所以tan(α＋2β)＝＝＝1.∵tanα＝＜1，α∈(0，π)，∴α∈，同理β∈，∴α＋2β∈，所以α＋2β＝.答案8．若sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)的值为________．解析由sinα－sinβ＝1－得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝1－＋＝－.①由cosα－cosβ＝得：cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝.②①＋②得1＋1－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝2－，即2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝.答案9．在△ABC中，若sinA＝，cosB＝－，则sinC＝________.解析在△ABC中，由cosB＝－<0，知角B为钝角，角A为锐角，所以cosA＝，sinB＝.所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.答案10．已知锐角α满足cos2α＝cos，则sin2α等于________．解析由cos2α＝cos得(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝(cosα＋sinα)由α为锐角知cosα＋sinα≠0.∴cosα－sinα＝，平方得1－sin2α＝.∴sin2α＝.答案二、解答题11．函数f(x)＝cos＋sin，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(α)＝，α∈，求tan的值．解(1)f(x)＝cos＋sin＝sin＋cos＝sin∴f(x)的最小正周期T＝＝4π.(2)由f(α)＝，得sin＋cos＝，∴1＋sinα＝.∴sinα＝.又α∈.∴cosα＝＝＝.∴tanα＝＝.∴tan＝＝＝7.12．已知向量a＝(m，sin2x)，b＝(cos2x，n)，x∈R，f(x)＝a·b，若函数f(x)的图象经过点(0,1)和.(1)求m，n的值；(2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x∈上的最小值；(3)若f＝，α∈时，求tan的值．解(1)f(x)＝mcos2x＋nsin2x，因为f(0)＝1，所以m＝1.又f＝1，所以n＝1.故m＝1，n＝1.(2)f(x)＝cos2x＋sin2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.因为x∈，所以2x＋∈，所以当x＝0或x＝时，f(x)取最小值1.(3)因为f＝，所以cosα＋sinα＝，即sin＝，又α∈，故α＋∈，所以cos＝，所以tan＝＝.13．(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．解(1)∵0<β<<α<π，∴－<－β<，<α－<π，∴cos＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<，又∵tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.14．在△ABC中，A、B、C为三个内角，f(B)＝4cosB·sin2＋cos2B－2cosB.(1)若f(B)＝2，求角B；(2)若f(B)－m＞2恒成立，求实数m的取值范围．解(1)f(B)＝4cosB×＋cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB＝2cosBsinB＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝2sin.∵f(B)＝2，∴2sin＝2，∵0＜B＜π，∴2B＋＝.∴B＝.(2)f(B)－m＞2恒成立，即2sin＞2＋m恒成立．∴2sin∈[－2,2]，∴2＋m＜－2.∴m＜－4.
