3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算A级基础巩固一、选择题1．对于a，b，c向量和实数λ，下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c答案：B2．下列命题中，不正确的命题个数是()①＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a.A．4个B．3个C．2个D．1个答案：D3．已知非零向量a、b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是()A．垂直B．共线C．不垂直D．以上都可能解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a、b垂直．答案：A4．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A．13B.C．2D.解析：|a＋3b|＝＝＝＝.答案：A5．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为()A．30°B．45°C．60°D．以上都不对答案：C二、填空题6．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．解析：因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，所以a·b＋b·c＋c·a＝＝－13.答案：－1317．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．解析：由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，所以18＋(λ＋1)·3×4cos135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，所以λ＝－.答案：－8．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．答案：90°三、解答题9.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD′⊥α于D′，如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝BD＝b，求CD的长．解：由AC⊥α，可知AC⊥AB.由∠DBD′＝30°，可知〈CA，BD〉＝60°，因为|CD|2＝CD·CD＝(CA＋AB＋BD)2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝b2＋a2＋b2＋2(0＋b2cos60°＋0)＝a2＋3b2，所以|CD|＝，即CD＝.10.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．(1)证明：AB1＝AB＋BB1，BC1＝BB1＋BC.因为BB1⊥平面ABC，所以BB1·AB＝0，BB1·BC＝0.2又△ABC为正三角形，所以〈AB，BC〉＝π－〈BA，BC〉＝π－＝.因为AB1·BC1＝(AB＋BB1)·(BB1＋BC)＝AB·BB1＋AB，BC＋BB12＋BB1·BC＝|AB|·|BC|·cos〈AB·BC〉＋BB12＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1.(2)解：结合(1)知AB1·BC1＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋BB12＝BB12－1.又|AB1|＝＝＝|BC1|，所以cos〈AB1，BC1〉＝＝.所以|BB1|＝2，即侧棱长为2.B级能力提升1．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为()A．0B.C.D.答案：D2．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________．解析：由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，又(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝|b|.所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°.答案：60°3．已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值．解：(1)如图所示，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos120°＝－1.因为AC1＝AB＋BC＋CC1＝a＋b＋c，所以|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋22－2－2＝2.所以|AC1|＝.即AC1长为.(2)因为AC1＝a＋b＋c，A1D＝b－c，所以AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.又|A1D|2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7，所以|A1D|＝，所以cos〈AC1，A1D〉＝＝＝－.故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为－.34
