§10.2排列与组合1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(2)C＝＝＝性质(1)0！＝1；A＝n！.(2)C＝C；C＝C＋C.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(√)(5)A＝nA.(√)(6)kC＝nC.(√)1．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．答案48解析末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)．2．(2014·辽宁改编)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________．答案24解析剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.3．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．答案12解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．4．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．答案14解析①有1名女生：CC＝8.②有2名女生：CC＝6.∴不同的选派方案有8＋6＝14(种).题型一排列问题例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．思维点拨(1)先考虑甲的排法或先考虑中间位置排法．(2)先排特殊元素．(3)插空法．解(1)方法一(元素分析法)先排甲有6种，其余有A种，故共有6·A＝241920(种)排法．方法二(位置分析法)中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有A·A＝336×720＝241920(种)排法．方法三(等机会法)9个人的全排列数有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A×＝241920(种)．方法四(间接法)A－3·A＝6A＝241920(种)．(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A·A＝10080(种)排法．(3)(插空法)先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有A·A＝2880(种)排法．思维升华本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数，求：(1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？解(1)不考虑0在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A个，2,3去排四个空档，有A个，即有AA个；而0在首位时，有AA个，即有AA－AA＝252个含有2,3，但它们不相邻的五位数；(2)在六个位置先排0,4,5，不考虑0在首位，则有A个，去掉0在首位，即有A－A个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有A－A＝100个六位数．题型二组合问题例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维点拨可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法．解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，∴某一种...
