课时分层作业(二十)函数的零点(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若函数f(x)＝mx＋n有一个零点是2，则函数g(x)＝nx2－mx的零点是()A．0B．C．－D．0和－D[由条件知，f(2)＝2m＋n＝0，∴n＝－2m.∴g(x)＝nx2－mx＝－2mx，由g(x)＝0，得x＝0或x＝－.∴g(x)的零点是0和－.]2．方程2x＋x＝0在下列哪个区间内有实数根()A．(－2，－1)B．(0,1)C．(1,2)D．(－1,0)．D[令f(x)＝2x＋x，则f(－2)＝－＜0，f(－1)＝－＜0，f(0)＝1＞0，f(1)＝3＞0，f(2)＝6＞0.∵f(－1)·f(0)＝×1＜0，∴f(x)＝2x＋x的零点在区间(－1,0)内，故2x＋x＝0在区间(－1,0)内有实数根．]3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋log2x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()A．c>b>aB．b>c>aC．b>a>cD．a>c>bB[在同一坐标系中画出y＝2x和y＝－x的图象，可得a<0，同样的方法可得b>0，c＝0，∴b>c>a.]4．已知函数f(x)＝log2x－，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值为()A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不小于零．A[因为x0是方程f(x)＝0的解，所以f(x0)＝0，又因为函数f(x)＝log2x－在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x1＜x0，所以有f(x1)＜f(x0)＝0.]5．设函数f(x)＝若f(－4)＝0，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是()A．0B．1C．2D．3C[由已知，得解得∴f(x)＝作图象(略)得函数有2个零点．]二、填空题6．关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一根大于－2小于0，另一个根大于1小于3，则实数a的取值范围是________．(－12,0)[由f(x)＝3x2－5x＋a满足条件的大致图象(略)可知解得－12＜a＜0，故实数a的取值范围是(－12,0)．]7．已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．若f(x)有2015个零点，则这2015个零点之和为________．0[设x0为其中一根，即f(x0)＝0，因为函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(－x0)＝f(x0)＝0，即－x0也为方程一根，又因为方程f(x)＝0有2015个实数解，所以其中必有一根x1，满足x1＝－x1，即x1＝0，所以这2015个实数解之和为0.]8．若函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有________个．2[依据给出的函数性质，易知f(－2)＝0，画出函数的大致图象如图：可知f(x)有两个零点．]三、解答题9．求函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数．[解]函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点即2x|log0.5x|－1＝0的解，即|log0.5x|＝的解，作出函数g(x)＝|log0.5x|和函数h(x)＝的图象，由图象可知，两函数共有两个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点．10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．[解](1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∵y＝f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，∴f(x)＝(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．[等级过关练]1．函数f(x)＝零点的个数为()A．1B．2C．3D．0B[x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3，x＝1(舍去)，∴f(x)在(－∞，0]上有一个零点；x＞0时，f(x)＝lnx－2在(0，＋∞)上递增，f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0.∵f(1)·f(e3)＜0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上，f(x)在R上有2个零点．]2．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．0[∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.]3．若方程x2－2|x|－a＝0恰有3个实根，则a的取值范围是________．a＝0[本题可化为y＝x2－2|x|与y＝a这两个函数图象交点个数的问题，在同一坐标系内，画出这两个函数的图象如图所示，观察图象，可知只有当a＝0时两个图象才恰有3个交点．]4．已知f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx，若关于x的方程f(x)＝0在(0,2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围．[解]当0＜x≤1时，方程化为1＋kx＝0，可知两解在(0,1]范围内不可能．当1＜x＜2时，方程化为2x2＋kx－1＝0，若两解在(1,2)范围内，则x1·x2＞1，这与x1·x2＝－矛盾．故两解在(1,2)范围内不可能．若方程的一解在(0,1]内，另一解在(1,2)内，则解得－＜k＜－1.故k的取值范围是.
