单元质检四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.为了得到函数y=sin(x+π3)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点()A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向上平行移动π3个单位长度D.向下平行移动π3个单位长度答案A解析由题意知,为得到函数y=sin(x+π3),只需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度,故选A.2.(2018福建厦门适应性考试)已知tanθ+1tanθ=4,则cos2(θ+π4)=()A.15B.14C.13D.12答案B解析由tanθ+1tanθ=4,得sinθcosθ+cosθsinθ=4,即sin2θ+cos2θsinθcosθ=4,∴sinθcosθ=14,∴cos2(θ+π4)=1+cos(2θ+π2)2=1-sin2θ21=1-2sinθcosθ2=1-2×142=14.3.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=π3,则φ=()A.5π12B.π3C.π4D.π6答案D解析由题意可知,g(x)=sin(2x-2φ).由|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=π2+2kπ(k∈Z),2x2-2φ=-π2+2mπ(m∈Z),则x1-x2=π2-φ+(k-m)π(k∈Z,m∈Z).因为|x1-x2|min=π3,0<φ<π2,所以当k-m=0,即k=m时,有π2-φ=π3,解得φ=π6.故选D.4.(2018全国Ⅲ,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.π2B.π3C.π4D.π6答案C2解析由S=a2+b2-c24=12absinC,得c2=a2+b2-2absinC.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,∴sinC=cosC,即C=π4.5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=2(b-cosC),则△ABC周长的取值范围是()A.(1,3]B.[2,4]C.(2,3]D.[3,5]答案C解析在△ABC中,由余弦定理可得2cosC=a2+b2-c2ab. a=1,2cosC+c=2b,∴1+b2-c2b+c=2b,∴(b+c)2-1=3bc. bc≤(b+c2)2,∴(b+c)2-1≤3×(b+c2)2,即b+c≤2,当且仅当b=c时,取等号.故a+b+c≤3. b+c>a=1,∴a+b+c>2.故△ABC的周长的取值范围是(2,3].6.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)满足f(x)=-f(x+π2),对任意的x都有f(x)≤f(π6)=2,则g(x)=Acos(ωx+φ)在区间[0,π2]上的最大值为()A.4B.√3C.1D.-2答案B解析由f(x)=-f(x+π2),知f(x+π)=-f(x+π2)=f(x),故f(x)的周期为π.所以2πω=π,解得ω=2.3由对任意的x都有f(x)≤f(π6)=2知,当x=π6时,f(x)取最大值,且最大值为2.所以π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,且A=2,故φ=2kπ+π6,k∈Z.又因为|φ|<π2,所以φ=π6.所以g(x)=2cos(2x+π6).因为x∈[0,π2],所以2x+π6∈[π6,7π6].由余弦函数的图象知g(x)max=2cosπ6=√3,故选B.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为m.答案40解析如图,设电视塔AB高为xm,则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°得BC=x.在Rt△ADB中,∠ADB=30°,则BD=√3x.在△BDC中,由余弦定理得,BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°,即(√3x)2=x2+402-2·x·40·cos120°,解得x=40,所以电视塔高为40m.8.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.4答案√152√104解析如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AE⊥BC,BF⊥CD.在Rt△ABE中,cos∠ABE=BEAB=14,∴cos∠DBC=-14,sin∠DBC=√1-116=√154.∴S△BCD=12×BD×BC×sin∠DBC=√152. cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-14,且∠DBF为锐角,∴sin∠DBF=√104.在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=√104.综上可得,△BCD的面积是√152,cos∠BDC=√104.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面积S=5√3,b=5,求sinBsinC的值.解(1)由cos2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cosA-2=0,即(2cosA-1)(cosA+2)=0,5解得cosA=12(cosA=-2舍去).因为0
