一题多思大胆创新幂函数一节的例题非常典型，希望同学们在学习过程中不能只停留在表面，要善于联想、归纳、创新，不断提高自己的思维素质．思考1：请你总结证明函数单调性的步骤（前面已学过，在此不再细说）．思考2：本题在证明过程中使用了一种很重要的“非正常”处理的数学方法——分子有理化，它是代数恒等变换的一种重要手段，在解决相等问题时有着重要作用．例1设函数，其中，判断并证明函数在区间上的单调性．证明：设，且．易证，又，，则可得，．故得，所以函数在区间上单调递减．思考3：根据定义判断或证明单调性的一般步骤中，对进行变形是最重要的，除了分子有理化以外，还有因式分解法、配方法和判别式法等．例2根据函数单调性定义，证明函数在上是减函数．分析：依题意，本题即要求证明：对任意实数，如果时，必有．因为，又，所以，关键是证明，由于不能同时为零，所以难点是如何处理这种情况．证法1：在上任取，且，则，．若时，由不能同时为零，；若时，有．，即，根据函数单调性的定义，可知在上是减函数．证法2：在上任取，且，则不能同时为零，，，因此，即，故函数在上是减函数．证法3：在上任取，且，则不能同时为零，，，因此，，即，故函数在上是减函数．证法4：（详证略）提示：证明时，可把或看作未知量，由于二次项系数是大于0的，所以只需证即可．点评：通过本例的学习与理解，希望同学们今后要重视用概念和定义解题，本题尽管综合性不太强，但对知识的考查还是很有深度的．当然，本题还有一些其他的证法，有兴趣的同学可以自己探究．思考4：如果两个幂函数复合以后，那么它的图象与性质又将如何呢？例3求函数的最小值．解：不妨设，且，则，当时，，即，所以在上单调递减；当时，，即，所以在上单调递增；所以当时，函数取最小值为．点评：利用函数的单调性求函数的最值是求函数最值的一种重要的方法，解题时要注意取得最值时自变量是否在定义域范围内，有时要用到分类讨论的思想，尤其是解数学建模一类的数学习题时更要小心，防止漏解．
