高二数学反正切函数与反余切函数知识精讲 人教版VIP专享VIP免费

高二数学反正切函数与反余切函数知识精讲人教版一.本周教学内容：第四章的§4.3反正切函数与反余切函数，§4.4三角方程，§4.5最简单的三角方程。二.重点、难点：本周在前两周研究反正弦函数与反余弦函数的基础上继续研究正切函数，余ytgx切函数的反函数，并进一步研究最简单的几种三角方程的解法。知识要点如下：yctgx1.反正切函数的定义：把的反函数叫做反正切函数，记作：，，ytgxx()22yarctgxxRyarctgx，，，，，其中符号的涵义：它表示属于区间()()2222，且正切值为的角。例如表示属于区间，且正切值为的角，，xarctg332233()该角为；表示属于区间（），且正切值为的角，该角为。，6022arctg002.反正切函数的图象与性质：下图是的图象，依照图象特征，易得的性质：yarctgxyarctgx（）奇偶性：反正切函数是奇函数，即。1arctgxarctgx()（）单调性：反正切函数在（）上是增函数。，2y20x23.两个恒等式：()()()()()1222tgarctgxxxRarctgtgxxx，，，几何解释如下：用心爱心专心arctgxtg(·)arctg(·)x()22，()，xtg(·)arctg(·)tgx()22，()，4.反余切函数的定义：把的反函数叫做反余切函数，记作，，yctgxx()0yarcctgxxRy，，，。()0符号的涵义：它表示属于区间，且余切值为的角。，arcctgxx()0例如，表示属于区间，且余切值为的角，该角为，arcctg3036();arcctg()()30356表示属于区间，且余切值为的角，该角为，。显然，x0时，时时，；，，；，。arcctgxxarcctgxxarcctgx()()0202025.反余切函数的图象与性质：下图是y=arcctgx的图象：（1）奇偶性：y=arcctgx是非奇非偶函数。（）单调性：在上为减函数。，2yarcctgx()y20x6.两个恒等式：()()()()()120ctgarcctgxxxRarcctgctgxxx，，，几何解释可类比反正切函数的两个恒等式。此外，注意反正切函数与反余切函数有如下关系式：互余，，。arctgxarcctgxxR2()7.三角方程的定义：含有未知数的三角函数的方程，叫做三角方程。例如：sin,x12sinsin()sinsincosxxxxx32123022，，等等均为三角方程。最简单的三角方程：sinx=a，cosx=a，tgx=a，ctgx=a。其他三角方程的求解，通过换元，适当用心爱心专心的三角变形，可转化为解这种最简单的三角方程，因此熟练掌握这四种最简单的三角方程就变得至关重要。事实上，《代数》（上册）第二章的§2.7“已知三角函数值求角”一节就是解三角方程的问题，只是当时未借用反三角函数的形式表示角。学习三角方程的解法时，不妨先复习这一节的关于求角的方法。（这种方法的迁移能力要逐渐培养起来）【典型例题】例1.求下列各式的值：()()()()1023333arctgarctgarctg()()()()4053363arcctgarcctgarcctg分析：求反正切函数值（或反余切函数值），只需由符号的涵义求解，如()10arctg表示属于区间，且正切值为的角，该角为，故，同理可求出其余，()220000arctg的值。解：()()()()1002336333arctgarctgarctg()()()()40253336356arcctgarcctgarcctg例2.求下列各式的值。()()()()1134123tgarctgtgarctgarcctg()()()sin()2135213tgarcctgarctg()()()sin(())37361234arctgtgarcctg分析：（）联想到恒等式，可得其值为。，113tgarctgxxxR()（2）、（4）、（5）、（6）均可采用换元法，简化式子，以便选择三角公式。（）由于，因此要利用恒等式，37322()arctgtgxx()，需将用诱tg73导公式变形，使之适合恒等式的条件。解：()()11313tgarctg()2131313设，则，从而arcctgctgtgctgtgarcctg()133()()[()]()3732333arctgtgarctgtgarctgtg()4123设，arctgarcctg则，tgtg1213用心爱心专心tgtgtgtgtg()11213112131即tgarctgarcctg()1231()51313设则，arctgtg()02，sincos110310sinsincos222110...