3.1.2空间向量的基本定理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y等于()A．2B．－2C．1D．0【解析】因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．所以所以所以x＋y＝0.【答案】D2．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【解析】BD＝BC＋CD＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，BA＝－AB＝－a－2b，∴BD＝－2BA，∴BD与BA共线，又它们经过同一点B，∴A，B，D三点共线．【答案】A3．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点()A．不共面B．共面C．不一定共面D．无法判断【解析】 ＋＋＝1，∴点P，A，B，C四点共面．【答案】B4．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq，q⇒p.【答案】B5．正方体ABCDA′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{AO1，AO2，AO3}为基底，AC′＝xAO1＋yAO2＋zAO3，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1B．x＝y＝z＝C．x＝y＝z＝D．x＝y＝z＝2【解析】AC′＝AA′＋AD＋AB＝(AB＋AD)＋(AA′＋AD)＋(AA′＋AB)＝AC＋AD′＋AB′＝AO1＋AO3＋AO2，由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.1【答案】A二、填空题6．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________.【解析】 {e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3为不共面向量．又 λe1＋μe2＋ve3＝0，∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0.【答案】07．已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO，则2x＋3y＋4z的值为________.【导学号：15460063】【解析】由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得OA＝x1OB＋y1OC＋z1OD，且x1＋y1＋z1＝1，因此2x＋3y＋4z＝－1.【答案】－18．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.【解析】由已知可得：BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， A，B，D三点共线，∴AB与BD共线，即存在λ∈R使得AB＝λBD.∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2， e1，e2不共线，∴解得k＝－8.【答案】－8三、解答题9．如图3118所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：图3118(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.【解】由题意知|PB|＝，|CD|＝，PB＝PA＋AB，DC＝DA＋AB＋BC， PA⊥平面ABCD，∴PA·DA＝PA·AB＝PA·BC＝0， AB⊥AD，∴AB·DA＝0， AB⊥BC，∴AB·BC＝0，∴PB·DC＝(PA＋AB)·(DA＋AB＋BC)＝AB2＝|AB|2＝1，又 |PB|＝，|CD|＝，∴cos〈PB，DC〉＝＝＝，2∴〈PB，DC〉＝60°，∴PB与CD所成的角为60°.10．正方体OABCO′A′B′C′，且OA＝a，OC＝b，OO′＝c.(1)用a，b，c表示向量AC′；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示GH.【解】(1)OA·OB＝|OA|·|OB|·cos∠AOB＝1×1×cos60°＝.(2)(OA＋OB)·(CA＋CB)＝(OA＋OB)·(OA－OC＋OB－OC)＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC)＝12＋1×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.(3)|OA＋OB＋OC|＝＝＝.[能力提升]1．若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝αPB＋βPC，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若α＋β＝1，则PA－PB＝β(PC－PB)，即BA＝βBC，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有AB＝λBC，故PB－PA＝λ(PC－PB)，整理得PA＝(1＋λ)PB－λPC，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【...
