章末检测(四)数系的扩充与复数的引入(时间：90分钟满分：100分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．复数z＝＋i2对应点在复平面()A．第一象限内B．实轴上C．虚轴上D．第四象限内解析： z＝－1，故对应点在实轴上．答案：B2．向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，则OZ1＋OZ2对应的复数是()A．－10＋8iB．10－8iC．0D．10＋8i解析：OZ1＋OZ2对应的复数是5－4i＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i＝0.答案：C3．复数＝()A．2－iB.＋iC．10－5iD.－i解析：＝＝＝2－i，故选A.答案：A4．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z等于()A．3＋iB．3－iC．－3－iD．－3＋i解析：由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.∴，解得，∴z＝3－i.答案：B5．若复数z满足方程z2＋2＝0，则z3等于()A．±2B．－2C．－2iD．±2i解析：由z2＋2＝0，∴z＝±i，∴z3＝±2i.答案：D6．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝()A．2iB．iC．－iD．－2i解析：设z＝bi，其中b≠0，b∈R，则由＝＝＝是实数，得2＋b＝0，b＝－2，故z＝－2i.故选D.答案：D7．复数＋的虚部是()A.iB.C．－iD．－1解析： ＋＝＋＝＋＝，∴其虚部是，故选B.答案：B8．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则等于()A．1B．－iC．±1D．±i解析：设z＝a＋bi，由z＋z＝4，z·z＝8，可得所以或即z＝2＋2i或z＝2－2i.当z＝2＋2i时，＝＝＝＝－i；当z＝2－2i时，＝＝＝＝i.答案：D9．若复数z＝cosθ＋isinθ且z2＋2＝1，则sin2θ＝()A.B.C.D．－解析：z2＋2＝(cosθ＋isinθ)2＋(cosθ－isinθ)2＝2cos2θ＝1⇒cos2θ＝，所以sin2θ＝＝.答案：B10．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A．|z－z|＝2yB．z2＝x2＋y2C．|z－z|≥2xD．|z|≤|x|＋|y|解析：对于A：|z－z|＝|2yi|＝2|y|≠2y；对于B：z2＝x2－y2＋2xyi≠x2＋y2；对于C：|z－z|＝2|y|≥2x不一定成立；对于D：|z|＝≤|x|＋|y|成立．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．若复数(1＋ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数1＋ai的模是________．解析：因为(1＋ai)2＝1－a2＋2ai是纯虚数，所以1－a2＝0，a2＝1，复数1＋ai的模为＝，故填.答案：12．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．解析： |z|＝3，∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以O′(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆13．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则(z1－z2)i的虚部是________．解析： z1－z2＝2＋2i，∴(z1－z2)i＝－2＋2i，∴(z1－z2)i的虚部是2.答案：214．已知复数z满足|z－i|＝1，则|z＋2－i|的最小值为________．解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|＝1，得|x＋yi－i|＝|x＋(y－1)i|＝＝1，∴x2＋(y－1)2＝1，即(y－1)2＝1－x2，2∴|z＋2－i|＝|x＋yi＋2－i|＝|(x＋2)＋(y－1)i|＝＝＝， (y－1)2＝1－x2≥0，∴－1≤x≤1，∴当x＝－1时，|z＋2－i|min＝1.答案：1三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)计算下列各题：(1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)；(3)(1－i)(－＋i)(1＋i)．解析：(1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i＋9i－12i2＝9＋13i.(3)(1－i)(－＋i)(1＋i)＝(－＋i＋i－i2)(1＋i)＝(＋i)(1＋i)＝＋i＋i＋i2＝－1＋i.16．(10分)实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)与复数2－12i相等？(2)与复数12＋16i互为共轭复数？(3)对应的点在x轴的上方？解析：(1)根据复数相等的充要条件得解得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得解得m＝1.(3)根据复数z对应点在x轴的上方，可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.17．(12分)已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数z＝1－i，求实数a，b使az＋2bz＝(a＋2z)2.解析： z＝1＋i，z＝1－i，∴az＋2bz＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2...
