课时作业46空间向量及其运算、空间位置关系一、选择题1．已知点A(－3,0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于(D)A．12B．9C．25D．10解析：点A关于原点对称的点B的坐标为(3,0,4)，故|AB|＝＝10.2．已知向量a＝(2，－3,5)，b＝，且a∥b，则λ等于(C)A.B.C．－D．－解析：a∥b⇔a＝kb⇔⇔3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值为(D)A．1B.C.D.解析：ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，由题意知，3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于(D)A.B.C.D.解析：由于a，b，c三个向量共面，所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb，即有解得m＝，n＝，λ＝.5．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，AM＝MC1，点N为B1B的中点，则|MN|等于(A)A.aB.aC.aD.a解析： MN＝AN－AM＝AN－AC1＝AB＋BN－(AB＋AD＋AA1)＝AB＋AA1－AD，∴|MN|＝＝a.故选A.6．设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足AB·AC＝0，AD·AC＝0，AD·AB＝0，则△BCD的形状是(C)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定解析：BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB2＝AB2>0，同理DB·DC>0，CB·CD>0，故△BCD为锐角三角形．故选C.二、填空题7．已知点P在z轴上，且满足|OP|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为或.解析：由题意知，P(0,0,1)或P(0,0，－1)．∴|PA|＝＝.或|PA|＝＝.8．已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示向量MN＝(b＋c－a)．解析：如图，MN＝(MB＋MC)＝[(OB－OM)＋(OC－OM)]＝(OB＋OC－2OM)＝(OB＋OC－OA)＝(b＋c－a)．9．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是.解析：由题意，设OQ＝λOP，即OQ＝(λ，λ，2λ)，则QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，当λ＝时有最小值，此时Q点坐标为.三、解答题10．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？(O为原点)解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2，1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)令AE＝tAB(t∈R)，所以OE＝OA＋AE＝OA＋tAB＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若OE⊥b，则OE·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在点E，使得OE⊥b，此时E点的坐标为(－，－，)．11．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.证明：(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.又ABCD是正方形，所以OF⊥AD.因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝.以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A，F，D，P，B，C.因为E为PC的中点，所以E.易知平面PAD的一个法向量为OF＝，因为EF＝，且OF·EF＝·，0，－＝0，又因为EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)因为PA＝，CD＝(0，－a,0)，所以PA·CD＝·(0，－a,0)＝0，所以PA⊥CD，所以PA⊥CD.又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PDC，所以PA⊥平面PDC.又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.12．如图，P为空间任意一点，动点Q在△ABC所在平面内运动，且PQ＝2PA－3PB＋mCP，则实数m的值为(C)A．0B．2C．－2D．1解析： PQ＝2PA－3PB＋mCP，∴PQ＝2PA－3PB－mPC.又动点Q在△ABC所在平面内运动，∴2＋(－3)＋(－m)＝1，∴m＝－2.故选C.13．如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，BC＝2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取...
