导数与函数的单调性函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数概念方法微思考“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任一非空子区间内都不恒为零．1．（2017•江苏）已知函数f（x）＝x3﹣2x+ex−1ex，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是__________．【答案】[﹣1，12]【解析】函数f（x）＝x3﹣2x+ex−1ex的导数为：f′（x）＝3x2﹣2+ex+1ex≥−¿2+2❑√ex⋅1ex=¿0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex−1ex=¿0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤12，故答案为：[﹣1，12]．2．（2020•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ex﹣a（x+2）．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解析】由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且f′（x）＝ex﹣a．（1）当a＝1时，f′（x）＝ex﹣1，令f′（x）＝0，解得x＝0．∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；（2）当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，不合题意；当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（x）的极小值也是最小值为f（lna）＝a﹣a（lna+2）＝﹣a（1+lna）．又当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞．∴要使f（x）有两个零点，只要f（lna）＜0即可，则1+lna＞0，可得a＞1e．综上，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（1e，+∞）．3．（2020•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a＞0，讨论函数g（x）¿f(x)−f(a)x−a的单调性．【解析】（1）f（x）≤2x+c等价于2lnx﹣2x≤c﹣1．设h（x）＝2lnx﹣2x，h′（x）¿2x−2=2(1−x)x（x＞0）．当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）在x＝1时取得极大值也就是最大值为h（1）＝﹣2，∴c﹣1≥﹣2，即c≥﹣1．则c的取值范围为[﹣1，+∞）；（2）g（x）¿f(x)−f(a)x−a=2(lnx−lna)x−a（x＞0，x≠a，a＞0）．∴g′（x）¿2x(x−a)−2lnx+2lna¿¿．令w（x）¿−2ax−2lnx+¿2lna+2（x＞0），则w′（x）¿2ax2−2x=2(a−x)x2，令w′（x）＞0，解得0＜x＜a，令w′（x）＜0，解得x＞a，∴w（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．∴w（x）≤w（a）＝0，即g′（x）≤0，∴g（x）在（0，a）和（a，+∞）上单调递减．4．（2020•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围．【解析】（1）f（x）＝x3﹣kx+k2．f′（x）＝3x2﹣k，k≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，k＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞❑√k3或x＜−❑√k3，令f′（x）＜0，解得：−❑√k3＜x＜❑√k3，∴f（x）在（﹣∞，−❑√k3）递增，在（−❑√k3，❑√k3）递减，在（❑√k3，+∞）递增，综上，k≤0时，f（x）在R递增，k＞0时，f（x）在（﹣∞，−❑√k3）递增，在（−❑√k3，❑√k3）递减，在（❑√k3，+∞）递增；（2）由（1）得：k＞0，f（x）极小值＝f（❑√k3），f（x）极大值＝f（−❑√k3），若f（x）有三个零点，只需{k＞0f(❑√k3)＜0f(−❑√k3)＞0，解得：0＜k＜427，故k∈（0，427）．5．（2019•全国）已知函数f（x）¿❑√x（x2﹣ax）．（1）当a＝1时，求f（x）的单调...
