高考数学 热门考点与解题技巧 考点2 函数的概念、定义域、值域-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

考点2函数的概念、定义域、值域热门题型题型1函数与映射的概念题型2求函数的解析式题型3求函数的定义域题型4求函数的值域题型1函数与映射的概念例1(1)下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？①A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4.②A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝4x.③A＝N，B＝Q，f：x→y＝.④A＝{x|x是平面α内的矩形}，B＝{y|y是平面α内的圆}，对应关系f：每一个矩形都对应它的外接圆．【解题技巧】判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f下对应集合A中的任一元素在B中都有唯―的象，判断一个对应是否能构成函数，应判断：（1）集合A与是否为非空数集；（2）f：A→B是否为一个映射.变式1.（2015浙江理7）存在函数满足：对任意都有（）．A.B.C.D.解析本题考查函数的定义，即一个自变量只能对应一个函数值.对A，取，则当时，；当时，.所以A错；同理B错；对C，取，且，所以C错.故选D.题型2求函数的解析式例2求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知，求函数的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知函数满足：,求函数的解析式.（5）已知函求的表达式.解法一（换元法）：令=t（），则得，所以，即解法二(配凑法）：,即（3）(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，因此应有解得故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.（4）分析本题中除了所要求取的形式，同时还存在另个形式，应通过方程消元的思想，消去的形式，故只需寻求另一个关于和的等量关系式即可.解析由，①以代替得到，②由①②联立，求得（5）分析本题考查分段函数的概念，根据函数对复合变量的要求解题.解析由可得当即时,;当即时,g因此【解题技巧】求函数解析式的常用方法如下：（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法.若易换元后求出，用换元法.利用换元法求函数解析式时，应注意对新元t范围的限制.（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法.若一个方程中同时出现与其他形式（如或等）时，可用代替两边所有的x,得到关于与的另一个方程组,解方程程组即可求出的解析式，常称这种方法为方程组法.（4）求函数解析式要注意定义域（5）对于分段函数的形式，不论是求值还是求分段函数表达式，一定要注意复合变量的要求.变式1.已知函数满足,则的表达式为________.变式2.已知实数a≠0函数若则a的值为______.解析当a>0时,1-a<1.1+a>1.得解得.（不符，故舍去）；当a<0时,1-a>1,1+a<1,得2(1+a)+a=-(1-a)-2a．解得.综上,.变式3.（2015全国II理5）设函数，则（）A.B.C.D.解析由题意可得，.又由，故有，所以有.故选C.题型3求函数的定义域例3函数的定义域为（）．A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解【解题技巧】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式.变式1.（2016江苏5）函数的定义域是.解析由题意得，解得，因此定义域为.例4(1)若函数f(x)的定义域为[0，1]，求f(2x－1)的定义域．(2)若函数f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域．(3)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．【解析】(1)由0≤2x－1≤1，得≤x≤1，∴函数f(2x－1)的定义域为[，1]．(3)因为函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5，所以函数y＝f(x)的定义域为[3，5]．由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函数y＝f(2x－1)的定义域为[2，3]．【解题技巧】抽象函数定义域的求法(1)若已知y＝f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出．(2)若已知y＝f[g(x)]的定义域为[a，b]，则y＝f(x)的定义域即为g(x)的值域．变式1.（2017全国I理5）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】因为为奇函数，所以，于是，等价于，又在单调递减，，...