学业分层测评(十七)向量共线的条件与轴上向量坐标运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A.A，B，DB.A，B，CC.B，C，DD.A，C，D【解析】BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB，所以A，B，D三点共线.【答案】A2.(2016·临沂高一检测)设a，b为不共线向量，AB＝a＋b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－2b，则下列关系式中正确的是()A.AD＝BCB.AD＝2BCC.AD＝－BCD.AD＝－2BC【解析】AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC.【答案】B3.设a，b是不共线的向量，AB＝a＋kb，AC＝ma＋b(k，m∈R)，则当A，B，C三点共线时，有()A.k＝mB.km－1＝0C.km＋1＝0D.k＋m＝0【解析】∵A，B，C三点共线，∴AB＝nAC，∴a＋kb＝mna＋nb，∴∴mk－1＝0.【答案】B4.(2016·济南高一检测)已知向量e1，e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a与b共线，则k等于()A.±1B.1C.－1D.0【解析】∵a与b共线，∴a＝λb.即ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴解得k＝±1.【答案】A5.(2016·佛山高一检测)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则()A.λ＝0B.e2＝0C.e1∥e2D.e1∥e2或λ＝0【解析】∵a∥b，∴存在实数k，使得a＝kb，即(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0；若2k－1≠0，则e1＝e2，此时e1∥e2，又0与任何一个向量平行，∴有e1∥e2或λ＝0.【答案】D二、填空题6.已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________.【解析】设A，C的坐标分别为xA，xC，则AB＝3－xA＝5，∴xA＝－2，又AC＝xC－xA＝xC－(－2)＝2，∴xC＝0.【答案】07.(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.【解析】∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得【答案】8.(2016·绍兴高一检测)设a，b是两个不共线的非零向量，记OA＝a，OB＝tb(t∈R)，OC＝(a＋b)，那么当A，B，C三点共线时，实数t的值为________.【导学号：72010053】【解析】∵OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，∴AB＝OB－OA＝tb－a，AC＝OC－OA＝(a＋b)－a＝b－a，∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λAC，即tb－a＝λ.由于a，b不共线，∴解得故当t＝时，A，B，C三点共线.【答案】三、解答题9.已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.【解】(1)BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.(2)|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.10.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ使向量d＝λa＋μb与c共线？【解】假设存在这样的实数λ，μ使得d＝λa＋μb与c共线，∴d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2.要使d与c共线.则有实数k，使得d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，∴所以λ＝－2μ.故存在这样的λ，μ，使d与c共线.[能力提升]1.设e1，e2是不共线向量，若向量a＝3e1＋5e2与向量b＝me1－3e2共线，则m的值等于()A.－B.－C.－D.－【解析】∵a∥b，∴存在实数λ，使得b＝λa，即me1－3e2＝λ(3e1＋5e2)，∵e1，e2是不共线向量，∴解得m＝－.【答案】A2.(2016·枣庄校级月考)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝()A.aB.bC.cD.0【解析】∵a＋b与c共线，b＋c与a共线，∴a＋b＝λc，b＋c＝μa，两式相减得a－c＝λc－μa，移项得(1＋λ)c＝(1＋μ)a.∵向量a，c不共线，∴只有1＋λ＝0,1＋μ＝0.即λ＝－1，μ＝－1.也就是a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.【答案】D3.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________.【解析】∵a∥b，∴存在实数μ，使得a＝μb.即2e1－e2＝μe1＋λμe2，∴解得λ＝－.【答案】－4.如图2135，设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交AB，AC于P，Q，若AP＝mAB，AQ＝nAC，求证：＋＝3.图2135【证明】设AB＝a，AC＝b，∵AP＝mAB，AQ＝nAC，∴AP＝ma，AQ＝nb.∵G为△ABC的重心，连接AG并延长交BC于D，则AD为△ABC一边BC的中线，∴AD＝(a＋b)，∴AG＝AD＝(a＋b)，∴PG＝AG－AP＝(a＋b)－ma＝a＋b.GQ＝AQ－AG＝nb－(a＋b)＝－a＋b.又PG与GQ共线，∴PG＝λGQ，∴a＋b＝－λa＋λb，∴消去λ得：m＋n＝3mn，即＋＝3.
